Dados os seguintes planos: : e , calcule:
e para que os planos sejam paralelos.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois planos:
  • Plano :
  • Plano :
Queremos encontrar os valores de e de forma que esses dois planos sejam paralelos. Para isso, precisamos lembrar de alguns conceitos sobre planos no espaço tridimensional.

Passo 2

O que significa que dois planos são paralelos?
Dois planos são paralelos se e somente se eles têm vetores normais que são proporcionais entre si. O vetor normal de um plano é dado pelos coeficientes de , e na equação do plano.

Passo 3

Identificando os vetores normais dos planos:
  • Para o plano : O vetor normal é
  • Para o plano : O vetor normal é

Passo 4

Condicionando os vetores normais para serem proporcionais:
Para que e sejam proporcionais, deve existir um número real tal que:
Então, temos:
Isso nos dá um sistema de equações:

Passo 5

Resolvendo o sistema de equações:
Vamos resolver a terceira equação para encontrar :
Agora que temos , substituímos nas primeiras duas equações:

Resposta

Os valores são e para que os planos e sejam paralelos.

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Determine as interseções dos planos com os eixos coordenados e represente graficamente:
Determine a distância dos pontos aos respectivos planos:
e
Das afirmações abaixo: justifique se for verdadeira, dê um contra-exemplo caso for falsa. (a) (V) Se então .
Escreva a equação do plano paralelo ao eixo e que passa pelos pontos e .