Dados os seguintes planos: pi : a x+b y-4 z+3=0 e alpha: 3 x+2 y- 2 z+20=0, calcule:
a e b para que os planos sejam paralelos.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois planos:
  • Plano pi: a x + b y - 4 z + 3 = 0
  • Plano alpha: 3 x + 2 y - 2 z + 20 = 0
Queremos encontrar os valores de a e b de forma que esses dois planos sejam paralelos. Para isso, precisamos lembrar de alguns conceitos sobre planos no espaço tridimensional.

Passo 2

O que significa que dois planos são paralelos?
Dois planos são paralelos se e somente se eles têm vetores normais que são proporcionais entre si. O vetor normal de um plano é dado pelos coeficientes de x, y e z na equação do plano.

Passo 3

Identificando os vetores normais dos planos:
  • Para o plano pi: O vetor normal é npi = (a, , b, , -4)
  • Para o plano alpha: O vetor normal é nalpha = (3, , 2, , -2)

Passo 4

Condicionando os vetores normais para serem proporcionais:
Para que npi e nalpha sejam proporcionais, deve existir um número real lambda tal que:
npi = lambda cdot nalpha
Então, temos:
(a, , b, , -4) = lambda cdot (3, , 2, , -2)
Isso nos dá um sistema de equações:
a = 3lambda b = 2lambda -4 = -2lambda

Passo 5

Resolvendo o sistema de equações:
Vamos resolver a terceira equação para encontrar lambda:
-4 = -2lambda implies lambda = -4-2 = 2
Agora que temos lambda = 2, substituímos nas primeiras duas equações:
a = 3 times 2 = 6 b = 2 times 2 = 4

Resposta

Os valores são a = 6 e b = 4 para que os planos pi e alpha sejam paralelos.

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