Dados os seguintes planos: : e , calcule: e para que os planos sejam paralelos.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois planos:
Plano :
Plano :
Queremos encontrar os valores de e de forma que esses dois planos sejam paralelos. Para isso, precisamos lembrar de alguns conceitos sobre planos no espaço tridimensional.
Passo 2
O que significa que dois planos são paralelos?
Dois planos são paralelos se e somente se eles têm vetores normais que são proporcionais entre si. O vetor normal de um plano é dado pelos coeficientes de , e na equação do plano.
Passo 3
Identificando os vetores normais dos planos:
Para o plano : O vetor normal é
Para o plano : O vetor normal é
Passo 4
Condicionando os vetores normais para serem proporcionais:
Para que e sejam proporcionais, deve existir um número real tal que:
Então, temos:
Isso nos dá um sistema de equações:
Passo 5
Resolvendo o sistema de equações:
Vamos resolver a terceira equação para encontrar lambda:
-4 = -2lambda implies lambda = -4-2 = 2
Agora que temos lambda = 2, substituímos nas primeiras duas equações:
a = 3 times 2 = 6 b = 2 times 2 = 4
Resposta
Os valores são a = 6 e b = 4 para que os planos pi e alpha sejam paralelos.