Os dados a seguir mostram a relação entre a concentração de uma substância (em gramas por litro) e o tempo de reação (em minutos): . Ajuste uma reta utilizando o método dos mínimos quadrados.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma lista de pares que mostram como a concentração de uma substância (em gramas por litro) muda com o tempo de reação (em minutos). O que a gente precisa fazer é encontrar uma reta que melhor se ajuste a esses pontos usando o método dos mínimos quadrados. Vamos precisar entender um pouco de álgebra para calcular os coeficientes dessa reta.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que temos:
Concentração (x) Tempo (y)
10 5
20 10
30 13
40 17
50 20
Precisamos calcular algumas somas importantes: a soma de x, a soma de y, a soma de xy e a soma de x². Vamos calcular cada uma delas.

Passo 3

Vamos calcular cada termo necessário:
  • Soma de x:
  • Soma de y:
  • Soma de xy:
  • Soma de x²:

Passo 4

Agora, vamos usar a fórmula do método dos mínimos quadrados para encontrar os coeficientes da reta .
Primeiro, calculamos a inclinação :
Onde é o número de pontos, que aqui é 5.
Substituindo os valores:

Passo 5

Agora que temos o valor de , vamos encontrar o valor de usando a fórmula:
Substituindo os valores:

Passo 6

Agora que temos os valores de e , podemos escrever a equação da reta que melhor se ajusta aos nossos dados:
Isso significa que para cada aumento de 1 grama por litro na concentração, o tempo de reação aumenta, em média, 0,37 minutos.

Resposta

A reta ajustada pelos mínimos quadrados é .

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