Os dados a seguir mostram a relação entre a concentração de uma substância (em gramas por litro) e o tempo de reação (em minutos):
. Ajuste uma reta utilizando o método dos mínimos quadrados.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma lista de pares que mostram como a concentração de uma substância (em gramas por litro) muda com o tempo de reação (em minutos). O que a gente precisa fazer é encontrar uma reta que melhor se ajuste a esses pontos usando o método dos mínimos quadrados. Vamos precisar entender um pouco de álgebra para calcular os coeficientes dessa reta.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os dados que temos:
Concentração (x) | Tempo (y) |
---|---|
10 | 5 |
20 | 10 |
30 | 13 |
40 | 17 |
50 | 20 |
Precisamos calcular algumas somas importantes: a soma de x, a soma de y, a soma de xy e a soma de x². Vamos calcular cada uma delas.
Passo 3
Vamos calcular cada termo necessário:
- Soma de x:
- Soma de y:
- Soma de xy:
- Soma de x²:
Passo 4
Agora, vamos usar a fórmula do método dos mínimos quadrados para encontrar os coeficientes da reta
.
Primeiro, calculamos a inclinação
:
Onde
é o número de pontos, que aqui é 5.
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora que temos o valor de
, vamos encontrar o valor de
usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Passo 6
Agora que temos os valores de
e
, podemos escrever a equação da reta que melhor se ajusta aos nossos dados:
Isso significa que para cada aumento de 1 grama por litro na concentração, o tempo de reação aumenta, em média, 0,37 minutos.
Resposta
A reta ajustada pelos mínimos quadrados é
.
Exercícios relacionados
Sendo
e
pontos no espaço, determinai a distância entre eles.
b) e
.
b)
Encontre a derivada da função.
Encontre a derivada da função.
Uma empresa registrou os seguintes dados sobre a produção de um bem (em milhares de unidades) em relação ao tempo (em meses):
. Determine a reta
que melhor ajusta os dados.