Encontre a derivada da função.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O desafio é encontrar a derivada da função . Isso faz parte do estudo de Cálculo Diferencial, mais especificamente sobre derivadas de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar lembrar como derivar funções trigonométricas básicas e aplicar as regras de derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a função cosecante. A função é o inverso da função seno, ou seja:
Isso significa que podemos escrever dessa forma para facilitar a derivação.

Passo 3

Agora, vamos derivar . Para isso, vamos usar a regra do quociente ou a regra da cadeia. Vou optar pela regra da cadeia, que é mais direta aqui.
A regra da cadeia diz que a derivada de é , onde .

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia:
Sabemos que a derivada de é , então substituindo:

Passo 5

Podemos simplificar essa expressão usando funções trigonométricas conhecidas. Lembrando que:
Então, substituindo na derivada:
Porque .

Resposta

A derivada de é:

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Os dados a seguir mostram a relação entre a concentração de uma substância (em gramas por litro) e o tempo de reação (em minutos): . Ajuste uma reta utilizando o método dos mínimos quadrados.
Sendo e pontos no espaço, determinai a distância entre eles.
b) e .
Uma empresa registrou os seguintes dados sobre a produção de um bem (em milhares de unidades) em relação ao tempo (em meses): . Determine a reta que melhor ajusta os dados.
Descrevei as regiões representadas pelas equações e inequações abaixo.
d) e .