Encontre a derivada da função.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O desafio é encontrar a derivada da função
. Isso faz parte do estudo de Cálculo Diferencial, mais especificamente sobre derivadas de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar lembrar como derivar funções trigonométricas básicas e aplicar as regras de derivação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a função cosecante. A função
é o inverso da função seno, ou seja:
Isso significa que podemos escrever
dessa forma para facilitar a derivação.
Passo 3
Agora, vamos derivar
. Para isso, vamos usar a regra do quociente ou a regra da cadeia. Vou optar pela regra da cadeia, que é mais direta aqui.
A regra da cadeia diz que a derivada de
é
, onde
.
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia:
Sabemos que a derivada de
é
, então substituindo:
Passo 5
Podemos simplificar essa expressão usando funções trigonométricas conhecidas. Lembrando que:
Então, substituindo na derivada:
Porque .
Resposta
A derivada de
é:
Exercícios relacionados
Os dados a seguir mostram a relação entre a concentração de uma substância (em gramas por litro) e o tempo de reação (em minutos):
. Ajuste uma reta utilizando o método dos mínimos quadrados.
Sendo
e
pontos no espaço, determinai a distância entre eles.
b) e
.
b)
Uma empresa registrou os seguintes dados sobre a produção de um bem (em milhares de unidades) em relação ao tempo (em meses):
. Determine a reta
que melhor ajusta os dados.
Descrevei as regiões representadas pelas equações e inequações abaixo.
d) e
.
d)