Encontre a derivada da função.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a derivada da função . Isso envolve cálculo diferencial, especificamente a aplicação da regra da cadeia para derivar funções compostas. Vamos precisar entender como derivar potências de funções e aplicar a regra da cadeia passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação. Temos:
Essa função é uma potência onde a base é 5 e o expoente é uma função de , ou seja, .

Passo 3

Para derivar essa função, usamos a regra da cadeia, que é usada quando temos uma função composta, como aqui. A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é:

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia na nossa função, identificamos:
  • A função externa
  • A função interna

Passo 5

Vamos derivar a função externa . A derivada de em relação a é:
Então,

Passo 6

Agora, derivamos a função interna . A derivada de em relação a é:
(Usamos a regra da potência: , então para , temos )

Passo 7

Agora, aplicamos a regra da cadeia:
Substituindo e :

Resposta

A derivada da função é:

Exercícios relacionados

Os dados a seguir mostram a relação entre a quantidade de vendas e o número de anúncios publicitários feitos por uma empresa: . Utilize o método dos mínimos quadrados para encontrar a equação da reta que melhor se ajusta aos dados.
Um engenheiro coletou os seguintes dados de resistência de um material em função da temperatura:
Encontre a função que melhor ajusta os dados utilizando o método dos mínimos quadrados. Qual é o valor da resistência quando a temperatura é 350 graus?
Sendo e pontos no espaço, determinai a distância entre eles.
b) e .
Os dados a seguir mostram a relação entre a concentração de uma substância (em gramas por litro) e o tempo de reação (em minutos): . Ajuste uma reta utilizando o método dos mínimos quadrados.