Encontre a derivada da função.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a derivada da função
. Isso envolve cálculo diferencial, especificamente a aplicação da regra da cadeia para derivar funções compostas. Vamos precisar entender como derivar potências de funções e aplicar a regra da cadeia passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação. Temos:
Essa função é uma potência onde a base é 5 e o expoente é uma função de
, ou seja,
.
Passo 3
Para derivar essa função, usamos a regra da cadeia, que é usada quando temos uma função composta, como aqui. A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta
é:
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia na nossa função, identificamos:
- A função externa
- A função interna
Passo 5
Vamos derivar a função externa
. A derivada de
em relação a
é:
Então,
Passo 6
Agora, derivamos a função interna
. A derivada de
em relação a
é:
(Usamos a regra da potência:
, então para
, temos
)
Passo 7
Agora, aplicamos a regra da cadeia:
Substituindo
e
:
Resposta
A derivada da função é:
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e
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b) e
.
b)
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