Encontre a derivada da função. f(x) = 5^(-1 / x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a derivada da função . Isso envolve cálculo diferencial, especificamente a aplicação da regra da cadeia para derivar funções compostas. Vamos precisar entender como derivar potências de funções e aplicar a regra da cadeia passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação. Temos:
Essa função é uma potência onde a base é 5 e o expoente é uma função de , ou seja, .

Passo 3

Para derivar essa função, usamos a regra da cadeia, que é usada quando temos uma função composta, como aqui. A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é:

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia na nossa função, identificamos:
  • A função externa
  • A função interna

Passo 5

Vamos derivar a função externa . A derivada de em relação a é:
Então,

Passo 6

Agora, derivamos a função interna . A derivada de em relação a é:
(Usamos a regra da potência: , então para , temos )

Passo 7

Agora, aplicamos a regra da cadeia:
Substituindo e :

Resposta

A derivada da função é:

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