Dados , determine .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. A gente tem duas equações envolvendo funções trigonométricas:
Nosso objetivo aqui é descobrir o valor de . Para isso, vamos precisar usar um pouco de trigonometria, mais especificamente a identidade pitagórica que relaciona seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da identidade trigonométrica fundamental:
Essa identidade sempre vale para qualquer ângulo . Ela nos diz que o quadrado do seno mais o quadrado do cosseno de um ângulo sempre resulta em 1.

Passo 3

Agora, vamos substituir as expressões dadas no problema na identidade. Temos:
E

Passo 4

Substituindo essas expressões na identidade trigonométrica:
Agora, vamos simplificar essa equação para resolver .

Passo 5

Primeiro, vamos expandir o termo :
Substituindo de volta na equação:

Passo 6

Agora, vamos somar os termos semelhantes:
Em seguida, vamos levar todos os termos para um lado da equação:

Passo 7

Agora, temos uma equação quadrática:
Vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
Onde, na nossa equação, , , e .

Passo 8

Calculando o discriminante ( ):
Como , que é positivo, teremos duas soluções reais:

Passo 9

Calculando as duas possibilidades:

Passo 10

Agora, precisamos verificar se essas soluções são válidas no contexto das funções trigonométricas, já que temos uma raiz quadrada e as funções seno e cosseno têm restrições de valores.
Para :
Isso faz sentido, já que e ocorre quando .
Para :
Aqui temos um problema, porque a raiz quadrada de um número negativo não é um número real. Portanto, não é uma solução válida.

Resposta

O valor de é igual a 2.

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