Dados
, determine
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. A gente tem duas equações envolvendo funções trigonométricas:
Nosso objetivo aqui é descobrir o valor de
. Para isso, vamos precisar usar um pouco de trigonometria, mais especificamente a identidade pitagórica que relaciona seno e cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da identidade trigonométrica fundamental:
Essa identidade sempre vale para qualquer ângulo
. Ela nos diz que o quadrado do seno mais o quadrado do cosseno de um ângulo sempre resulta em 1.
Passo 3
Agora, vamos substituir as expressões dadas no problema na identidade. Temos:
E
Passo 4
Substituindo essas expressões na identidade trigonométrica:
Agora, vamos simplificar essa equação para resolver
.
Passo 5
Primeiro, vamos expandir o termo
:
Substituindo de volta na equação:
Passo 6
Agora, vamos somar os termos semelhantes:
Em seguida, vamos levar todos os termos para um lado da equação:
Passo 7
Agora, temos uma equação quadrática:
Vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
Onde, na nossa equação,
,
, e
.
Passo 8
Calculando o discriminante (
):
Como
, que é positivo, teremos duas soluções reais:
Passo 9
Calculando as duas possibilidades:
Passo 10
Agora, precisamos verificar se essas soluções são válidas no contexto das funções trigonométricas, já que temos uma raiz quadrada e as funções seno e cosseno têm restrições de valores.
Para
:
Isso faz sentido, já que e
ocorre quando
.
Para
:
Aqui temos um problema, porque a raiz quadrada de um número negativo não é um número real. Portanto,
não é uma solução válida.
Resposta
O valor de
é igual a 2.
Exercícios relacionados
Determine o domínio das funções:
;
Construir os gráficos cartesianos das seguintes funções exponenciais:
.
Verifique a existência dos seguintes limites:
, em que
Resolver as seguintes equações exponenciais:
;