Verifique a existência dos seguintes limites: lim r 2 g(r), em que g(r)=cccr^2 & se & r <= 2 8-2 r & se & 2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa verificar se o limite de g(r) = r^2 & se r <= 2 8 - 2r & se r > 2 quando se aproxima de 2 existe. A função é definida de duas maneiras diferentes dependendo do valor de :
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre limites laterais, que são os limites quando se aproxima de 2 pela esquerda e pela direita.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite quando limr to 2^- g(r) = limr to 2^- r^2 = 2^2 = 4 se aproxima de 2 pela esquerda, ou seja, valores menores que 2. Nessa região, a função é . Então:
Aqui, simplesmente substituímos por 2 porque a função é contínua nessa parte.

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite quando limr to 2^+ g(r) = limr to 2^+ (8 - 2r) = 8 - 2 times 2 = 8 - 4 = 4 se aproxima de 2 pela direita, ou seja, valores maiores que 2. Nessa região, a função é . Então:
Novamente, substituímos por 2 diretamente.

Passo 4

Agora que temos os dois limites laterais:
limr to 2^- g(r) = 4 e limr to 2^+ g(r) = 4
Como os dois limites são iguais, isso significa que o limite geral existe.

Resposta

O limite existe e é igual a 4.

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