Dados o sistema linear a seguir, a soma dos valores de x + y + z é igual a:
3x + 2y - z = 5
2x + y + z = 7
X - 2y + 3z = 1
A) 1
B) 6
C) 8
D)5
E)7

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta um sistema de três equações lineares com três incógnitas: x, y e z. O objetivo é descobrir a soma desses valores, ou seja, encontrar x + y + z. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de resolução de sistemas lineares, como substituição ou eliminação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o sistema para facilitar a visualização:
3x + 2y - z = 5 (1) 2x + y + z = 7 (2) x - 2y + 3z = 1 (3)
Vamos tentar eliminar uma das variáveis somando equações que nos ajudem a simplificar o sistema. Observando as equações (1) e (2), podemos somá-las para eliminar o z:
(3x + 2y - z) + (2x + y + z) = 5 + 7
Simplificando:
5x + 3y = 12 (4)
Agora, vamos fazer o mesmo com as equações (2) e (3). Se somarmos essas equações:
(2x + y + z) + (x - 2y + 3z) = 7 + 1
Simplificando:
3x - y + 4z = 8 (5)

Passo 3

Temos agora duas novas equações:
5x + 3y = 12 (4) 3x - y + 4z = 8 (5)
Vamos tentar isolar uma das variáveis. Da equação (4), podemos isolar y:
5x + 3y = 12 implies 3y = 12 - 5x implies y = 12 - 5x3
Agora, substituímos esse valor de y na equação (5):
3x - (12 - 5x3) + 4z = 8
Multiplicando todos os termos por 3 para se livrar do denominador:
9x - (12 - 5x) + 12z = 24
Simplificando:
9x - 12 + 5x + 12z = 24 implies 14x + 12z = 36
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:
7x + 6z = 18 (6)

Passo 4

Agora, vamos voltar à equação (2):
2x + y + z = 7
Substituindo y por 12 - 5x3:
2x + 12 - 5x3 + z = 7
Multiplicando todos os termos por 3:
6x + 12 - 5x + 3z = 21 implies x + 3z = 9 (7)
Agora, temos duas equações com x e z:
7x + 6z = 18 (6) x + 3z = 9 (7)
Podemos multiplicar a equação (7) por 6 para facilitar a eliminação:
6x + 18z = 54 (8)
Subtraindo a equação (6) da equação (8):
6x + 18z - (7x + 6z) = 54 - 18 implies -x + 12z = 36
Isolando x:
-x = 36 - 12z implies x = 12z - 36

Passo 5

Vamos substituir x = 12z - 36 na equação (7):
(12z - 36) + 3z = 9 implies 15z - 36 = 9 implies 15z = 45 implies z = 3
Agora que temos z = 3, podemos encontrar x:
x = 12(3) - 36 = 36 - 36 = 0
E, substituindo x = 0 na equação para y:
y = 12 - 5(0)3 = 123 = 4

Resposta

A soma x + y + z = 0 + 4 + 3 = 7. Portanto, a resposta correta é E) 7.

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