Dados os sistemas lineares a seguir:
  • Resolva os sistemas lineares por escalonamento;
  • Classifique os sistemas lineares quanto ao número de soluções (utilize a definição de posto da matriz) e determine grau de liberdade (se o sistema for possível e indeterminado).
y+3 z & =-2 2 x+y-4 z & =3 2 x+3 y+2 z & =-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um sistema de equações lineares e pediu para resolvê-lo usando escalonamento. Além disso, vamos classificar o sistema pelo número de soluções usando o posto da matriz e, se for o caso, determinar o grau de liberdade. Para isso, vamos precisar entender como manipular matrizes e aplicar operações de linha para simplificar o sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada. A matriz aumentada reúne os coeficientes das variáveis e os termos constantes:
0 & 1 & 3 & | & -2 2 & 1 & -4 & | & 3 2 & 3 & 2 & | & -1
Aqui, cada linha representa uma equação do sistema, e as colunas correspondem às variáveis , e , respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos começar o escalonamento. O objetivo é obter zeros abaixo do primeiro pivô (número líder na primeira coluna). Neste caso, o primeiro pivô está na segunda linha na coluna 2 & 1 & -4 & | & 3 0 & 1 & 3 & | & -2 2 & 3 & 2 & | & -1 . Vamos trocar a primeira e a segunda linha para facilitar:

Passo 4

Com o pivô 2 na primeira linha, queremos criar zeros abaixo dele na primeira coluna. Para isso, subtraímos a primeira linha da terceira linha:
Linha3 = Linha3 - Linha1:
2 & 1 & -4 & | & 3 0 & 1 & 3 & | & -2 0 & 2 & 6 & | & -4

Passo 5

Agora, vamos focar na segunda coluna. Temos um pivô de 1 na segunda linha. Queremos zerar o elemento abaixo desse pivô. Para isso, subtraímos 2 vezes a segunda linha da terceira linha:
Linha3 = Linha3 - 2 * Linha2:
2 & 1 & -4 & | & 3 0 & 1 & 3 & | & -2 0 & 0 & 0 & | & 0

Passo 6

Observamos que a terceira linha virou toda zero, o que indica que temos uma equação redundante. Agora, podemos voltar às equações correspondentes:
  1. (sem nova informação)

Passo 7

Vamos resolver a partir da segunda equação para expressar em termos de :
Agora, substituímos esse valor de na primeira equação:
Simplificando:

Passo 8

Como x = 52 + 72z y = -2 - 3z z = z é uma variável livre (pode assumir qualquer valor), o sistema tem infinitas soluções. Podemos expressar as soluções em termos de :

Passo 9

Agora, vamos classificar o sistema:
  • Posto da matriz dos coeficientes: 2 (há 2 pivôs)
  • Posto da matriz aumentada: 2
Como os postos são iguais e menores que o número de variáveis, o sistema é possível e indeterminado, ou seja, tem infinitas soluções.
Grau de liberdade: número de variáveis - posto da matriz = 3 - 2 = 1

Resposta

O sistema tem infinitas soluções, expressas por:
x = 52 + 72z y = -2 - 3z z é livre é
O grau de liberdade é 1.

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