Classifique os sistemas lineares quanto ao número de soluções (utilize a definição de posto da matriz) e determine grau de liberdade (se o sistema for possível e indeterminado).
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um sistema de equações lineares e pediu para resolvê-lo usando escalonamento. Além disso, vamos classificar o sistema pelo número de soluções usando o posto da matriz e, se for o caso, determinar o grau de liberdade. Para isso, vamos precisar entender como manipular matrizes e aplicar operações de linha para simplificar o sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada. A matriz aumentada reúne os coeficientes das variáveis e os termos constantes:
Aqui, cada linha representa uma equação do sistema, e as colunas correspondem às variáveis , e , respectivamente.
Passo 3
Agora, vamos começar o escalonamento. O objetivo é obter zeros abaixo do primeiro pivô (número líder na primeira coluna). Neste caso, o primeiro pivô está na segunda linha na coluna . Vamos trocar a primeira e a segunda linha para facilitar:
Passo 4
Com o pivô 2 na primeira linha, queremos criar zeros abaixo dele na primeira coluna. Para isso, subtraímos a primeira linha da terceira linha:
Linha3 = Linha3 - Linha1:
Passo 5
Agora, vamos focar na segunda coluna. Temos um pivô de 1 na segunda linha. Queremos zerar o elemento abaixo desse pivô. Para isso, subtraímos 2 vezes a segunda linha da terceira linha:
Linha3 = Linha3 - 2 * Linha2:
Passo 6
Observamos que a terceira linha virou toda zero, o que indica que temos uma equação redundante. Agora, podemos voltar às equações correspondentes:
(sem nova informação)
Passo 7
Vamos resolver a partir da segunda equação para expressar em termos de :
Agora, substituímos esse valor de na primeira equação:
Simplificando:
Passo 8
Como é uma variável livre (pode assumir qualquer valor), o sistema tem infinitas soluções. Podemos expressar as soluções em termos de :
Passo 9
Agora, vamos classificar o sistema:
Posto da matriz dos coeficientes: 2 (há 2 pivôs)
Posto da matriz aumentada: 2
Como os postos são iguais e menores que o número de variáveis, o sistema é possível e indeterminado, ou seja, tem infinitas soluções.
Grau de liberdade: número de variáveis - posto da matriz = 3 - 2 = 1