Dados os sistemas lineares a seguir:
  • Resolva os sistemas lineares por escalonamento;
  • Classifique os sistemas lineares quanto ao número de soluções (utilize a definição de posto da matriz) e determine grau de liberdade (se o sistema for possível e indeterminado).
r x-y+z=1 2 x+y+2 z=0 3 x-y+z=1

Passo 1

Então, a gente tem um sistema de equações lineares com três equações e três incógnitas:
r x - y + z = 1 2x + y + 2z = 0 3x - y + z = 1
Vamos resolver esse sistema usando o método de escalonamento, que envolve transformar as equações em uma forma mais simples para encontrar as soluções. Também vamos verificar quantas soluções o sistema tem, usando o conceito de posto da matriz, e descobrir o grau de liberdade se o sistema tiver infinitas soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada do sistema, que junta os coeficientes das incógnitas com os termos constantes:
1 & -1 & 1 & | & 1 2 & 1 & 2 & | & 0 3 & -1 & 1 & | & 1
O objetivo agora é fazer com que abaixo do primeiro elemento (1) fiquem zeros, usando operações de linha.

Passo 3

Vamos eliminar o 2 e o 3 abaixo do 1 na primeira coluna. Para isso:
  • Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha: L2 = L2 - 2L1
    - Subtraímos 3 vezes a primeira linha da terceira linha:
    L3 = L3 - 3L1
Aplicando essas operações:
1 & -1 & 1 & | & 1 0 & 3 & 0 & | & -2 0 & 2 & -2 & | & -2

Passo 4

Agora, vamos trabalhar na segunda coluna para deixar um 1 e zeros abaixo. Primeiro, vamos dividir a segunda linha por 3 para simplificar:
L2 = 13L2
Isso dá:
$$
1 & -1 & 1 & | & 1 0 & 1 & 0 & | & -23 0 & 2 & -2 & | & -2
$$

Passo 5

Em seguida, vamos eliminar o 2 da terceira linha na segunda coluna:
L3 = L3 - 2L2
Calculando:
$$
1 & -1 & 1 & | & 1 0 & 1 & 0 & | & -23 0 & 0 & -2 & | & -43
$$

Passo 6

Agora, vamos simplificar a terceira linha dividindo por -2:
L3 = 1-2L3
Resultado:
$$
1 & -1 & 1 & | & 1 0 & 1 & 0 & | & -23 0 & 0 & 1 & | & 23
$$

Passo 7

Com a matriz escalonada, podemos expressar as equações de volta:
x - y + z &= 1 y &= -23 z &= 23
Agora, substituímos y e z na primeira equação para encontrar x:
x - (-23) + 23 = 1
Simplificando:
x + 23 + 23 = 1
x + 43 = 1
x = 1 - 43
x = -13

Resposta

A solução do sistema é:
x = -13, y = -23, z = 23
O sistema possui uma única solução.

Exercícios relacionados