Dados os sistemas lineares a seguir:
  • Resolva os sistemas lineares por escalonamento;
  • Classifique os sistemas lineares quanto ao número de soluções (utilize a definição de posto da matriz) e determine grau de liberdade (se o sistema for possível e indeterminado).
r x+y+z=1 x-y-z=2 2 x+y+z=3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações com três variáveis: , e . A gente vai usar o método de escalonamento, que é uma forma de simplificar as equações para achar as soluções. Além disso, vamos verificar quantas soluções o sistema tem usando o conceito de posto da matriz e ver se há algum grau de liberdade caso o sistema seja possível e indeterminado. Para isso, precisamos entender um pouco sobre matrizes, escalonamento e posto.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar o sistema de equações na forma de matriz aumentada. Isso ajuda a visualizar melhor o que estamos fazendo. O sistema dado é:
x + y + z = 1 x - y - z = 2 2x + y + z = 3
A matriz aumentada fica assim:
1 & 1 & 1 & | & 1 1 & -1 & -1 & | & 2 2 & 1 & 1 & | & 3

Passo 3

Vamos começar o escalonamento. A ideia é transformar essa matriz em uma forma triangular, onde abaixo da diagonal principal temos apenas zeros. Primeiro, vamos usar a primeira linha para zerar o primeiro elemento da segunda e da terceira linhas.
Subtraindo a primeira linha da segunda linha:
Linha2 = Linha2 - Linha1
1 - 1 &= 0 -1 - 1 &= -2 -1 - 1 &= -2 2 - 1 &= 1
Então, a segunda linha fica:
0x - 2y - 2z = 1

Passo 4

Agora, vamos zerar o primeiro elemento da terceira linha. Para isso, vamos multiplicar a primeira linha por 2 e subtrair da terceira linha:
Linha3 = Linha3 - 2 times Linha1
2 - 2 times 1 &= 0 1 - 2 times 1 &= -1 1 - 2 times 1 &= -1 3 - 2 times 1 &= 1
Assim, a terceira linha fica:
0x - 1y - 1z = 1

Passo 5

Vamos reescrever a matriz com as novas linhas:
1 & 1 & 1 & | & 1 0 & -2 & -2 & | & 1 0 & -1 & -1 & | & 1

Passo 6

Vamos simplificar a segunda linha dividindo todos os termos por Linha2 = Linha2-2 :
0x + y + z = -12
0x + y + z = -12
Então, a segunda linha fica:

Passo 7

Agora, vamos usar a segunda linha para zerar o elemento correspondente na terceira linha. Para isso, vamos multiplicar a segunda linha por 1 e somar à terceira linha:
Linha3 = Linha3 + Linha2
0x - 1y - 1z + 0x + y + z = 1 - 12
Simplificando:
0x + 0y + 0z = 12

Passo 8

Veja só, a última equação resultou em , o que não faz sentido. Isso significa que o sistema não tem solução, ou seja, é inconsistente.

Resposta

O sistema não possui soluções porque as equações são inconsistentes.

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