Classifique os sistemas lineares quanto ao número de soluções (utilize a definição de posto da matriz) e determine grau de liberdade (se o sistema for possível e indeterminado).
Passo 1
Vamos resolver o sistema de equações lineares dado por:
Neste exercício, vamos utilizar o método de escalonamento para resolver o sistema. Também vamos classificar o sistema quanto ao número de soluções usando o conceito de posto da matriz e determinar o grau de liberdade se o sistema for possível e indeterminado.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o sistema na forma de uma matriz aumentada. A matriz aumentada inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes das equações:
Passo 3
Agora, vamos utilizar o método de escalonamento para simplificar a matriz. O objetivo é transformar a matriz em uma forma triangular, onde temos zeros abaixo da diagonal principal.
Primeiro, vamos subtrair a primeira linha da segunda para eliminar o termo na segunda equação:
Linha 2 = Linha 2 - Linha 1
Isso resulta em:
Passo 4
Agora, temos a matriz escalonada. Podemos expressar as equações correspondentes a essa matriz:
A segunda equação pode ser simplificada para:
Passo 5
Vamos resolver a segunda equação para uma das variáveis. Por exemplo, podemos expressar em função de :
Passo 6
Agora, substituímos na primeira equação:
Simplificando:
Passo 7
Agora, temos:
Podemos escolher como uma variável livre, já que não há uma equação para determinar . Vamos chamar , onde é um parâmetro real.
Então:
E da primeira equação:
Assim, expressamos em função de e , mas como também é livre, podemos definir , outro parâmetro real.
Então:
Passo 8
Resumindo, as soluções do sistema podem ser expressas em termos dos parâmetros e :
Passo 9
Agora, vamos classificar o sistema. Primeiramente, observamos que temos 2 equações e 4 incógnitas. O posto da matriz dos coeficientes é 2, que é igual ao número de equações, e menor que o número de incógnitas. Isso indica que o sistema é possível e possui infinitas soluções.
O grau de liberdade é dado por:
Número de incógnitas - Posto da matriz = 4 - 2 = 2
Resposta
O sistema possui infinitas soluções, e o grau de liberdade é 2. As soluções gerais são dadas por: