Determine o valor de de modo que o sistema admita solução não trivial:

Passo 1

Vamos começar entendendo o problema. Temos um sistema de equações lineares:
Queremos encontrar o valor de que faz com que esse sistema tenha uma solução não trivial, ou seja, uma solução diferente de . Para isso, vamos usar conceitos de matrizes e determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes desse sistema:
Um sistema homogêneo (igual a zero) tem soluções não triviais se e somente se o determinante dessa matriz for zero. Portanto, nosso objetivo é calcular e igualar a zero.

Passo 3

Vamos calcular o determinante da matriz :
Calculando os menores:
  1. Para o primeiro menor:
  2. Para o segundo menor:
  3. Para o terceiro menor:
Substituindo de volta no determinante:

Passo 4

Agora, igualamos o determinante a zero para encontrar :

Resposta

O valor de que faz o sistema ter uma solução não trivial é .

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Determine o valor de para que o sistema admita uma única solução:
Dados os sistemas lineares a seguir:
  • Resolva os sistemas lineares por escalonamento;
  • Classifique os sistemas lineares quanto ao número de soluções (utilize a definição de posto da matriz) e determine grau de liberdade (se o sistema for possível e indeterminado).
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Resolva cada um dos seguintes sistemas por eliminação de Gauss-Jordan e eliminação Gaussiana.