Determine o valor de de modo que o sistema admita solução não trivial:
Passo 1
Vamos começar entendendo o problema. Temos um sistema de equações lineares:
Queremos encontrar o valor de que faz com que esse sistema tenha uma solução não trivial, ou seja, uma solução diferente de . Para isso, vamos usar conceitos de matrizes e determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes desse sistema:
Um sistema homogêneo (igual a zero) tem soluções não triviais se e somente se o determinante dessa matriz for zero. Portanto, nosso objetivo é calcular e igualar a zero.
Passo 3
Vamos calcular o determinante da matriz :
Calculando os menores:
Para o primeiro menor:
Para o segundo menor:
Para o terceiro menor:
Substituindo de volta no determinante:
Passo 4
Agora, igualamos o determinante a zero para encontrar :
Resposta
O valor de que faz o sistema ter uma solução não trivial é .