Determine o valor de k de modo que o sistema admita solução não trivial:
c x-y-z=0 x-2 y-2 z=0 2 x+k y+z=0

Passo 1

Vamos começar entendendo o problema. Temos um sistema de equações lineares:
c x - y - z = 0 x - 2y - 2z = 0 2x + ky + z = 0
Queremos encontrar o valor de que faz com que esse sistema tenha uma solução não trivial, ou seja, uma solução diferente de . Para isso, vamos usar conceitos de matrizes e determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes desse sistema:
A = 1 & -1 & -1 1 & -2 & -2 2 & k & 1
Um sistema homogêneo (igual a zero) tem soluções não triviais se e somente se o determinante dessa matriz for zero. Portanto, nosso objetivo é calcular e igualar a zero.

Passo 3

Vamos calcular o determinante da matriz det(A) = 1 cdot -2 & -2 k & 1 - (-1) cdot 1 & -2 2 & 1 + (-1) cdot 1 & -2 2 & k :
-2 & -2 k & 1 = (-2)(1) - (-2)(k) = -2 + 2k
Calculando os menores:
  1. Para o primeiro menor:
    1 & -2 2 & 1 = (1)(1) - (-2)(2) = 1 + 4 = 5
  2. Para o segundo menor:
    1 & -2 2 & k = (1)(k) - (-2)(2) = k + 4
  3. Para o terceiro menor:
    det(A) = 1 cdot (-2 + 2k) + 1 cdot 5 + (-1) cdot (k + 4) = -2 + 2k + 5 - k - 4 = k -1
Substituindo de volta no determinante:

Passo 4

Agora, igualamos o determinante a zero para encontrar k - 1 = 0 implies k = 1 :

Resposta

O valor de que faz o sistema ter uma solução não trivial é .

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