Dados os sistemas lineares a seguir:
  • Resolva os sistemas lineares por escalonamento;
  • Classifique os sistemas lineares quanto ao número de soluções (utilize a definição de posto da matriz) e determine grau de liberdade (se o sistema for possível e indeterminado).
c x+y+z=2 x-y-z=-3 2 x+y+2 z=1 3 x+2 y+3 z=3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando escalonamento. O conteúdo aqui envolve matrizes e métodos de resolução de sistemas. Vamos precisar montar a matriz aumentada do sistema e aplicar operações de linha para simplificar até encontrarmos as soluções ou verificarmos as possibilidades.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma de matriz aumentada:
1 & 1 & 1 & | & 2 1 & -1 & -1 & | & -3 2 & 1 & 2 & | & 1 3 & 2 & 3 & | & 3

Passo 3

Agora, vamos usar a primeira linha para eliminar o x das outras linhas. Subtraímos a primeira linha da segunda, subtraímos 2 vezes a primeira linha da terceira e subtraímos 3 vezes a primeira linha da quarta:
  • Linha2 = Linha2 - Linha1:
[1 -1 -1 | -3] - [1 1 1 | 2] = [0 -2 -2 | -5]
  • Linha3 = Linha3 - 2 * Linha1:
[2 1 2 | 1] - 2*[1 1 1 | 2] = [0 -1 0 | -3]
  • Linha4 = Linha4 - 3 * Linha1:
[3 2 3 | 3] - 3*[1 1 1 | 2] = [0 -1 0 | -3]
A matriz fica assim:
1 & 1 & 1 & | & 2 0 & -2 & -2 & | & -5 0 & -1 & 0 & | & -3 0 & -1 & 0 & | & -3

Passo 4

Observamos que a terceira e a quarta linhas são iguais. Podemos eliminar a quarta linha, já que ela não adiciona nenhuma informação nova:
1 & 1 & 1 & | & 2 0 & -2 & -2 & | & -5 0 & -1 & 0 & | & -3

Passo 5

Agora, vamos simplificar a segunda linha dividindo todos os termos por -2:
1 & 1 & 1 & | & 2 0 & 1 & 1 & | & 2.5 0 & -1 & 0 & | & -3

Passo 6

Em seguida, somamos a segunda linha à terceira para eliminar o y da terceira linha:
[0 -1 0 | -3] + [0 1 1 | 2.5] = [0 0 1 | -0.5]
A matriz fica:
1 & 1 & 1 & | & 2 0 & 1 & 1 & | & 2.5 0 & 0 & 1 & | & -0.5

Passo 7

Agora, temos as variáveis já isoladas:
  • Da terceira linha:
  • Da segunda linha:
  • Da primeira linha:

Passo 8

Então, encontramos uma solução única para o sistema:
x = -0.5, y = 3, z = -0.5

Resposta

A solução do sistema é , e . O sistema possui uma única solução.

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