Resolva cada um dos seguintes sistemas por eliminação de Gauss-Jordan e eliminação Gaussiana.
x-y+2 z-w & =-1 2 x+y-2 z-2 w & =-2 -x+2 y-4 z+w & =1 3 x-3 w & =-3

Passo 1

Opa! Então, a gente tem um sistema de quatro equações com quatro incógnitas: , , e . Vamos resolver esse sistema usando dois métodos: a Eliminação de Gauss e a Eliminação de Gauss-Jordan. Para isso, vamos organizar as equações em uma matriz aumentada e realizar umas manobras matemáticas para encontrar os valores de cada variável.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema. A matriz aumentada combina os coeficientes das variáveis com os termos constantes das equações:
1 & -1 & 2 & -1 & | & -1 2 & 1 & -2 & -2 & | & -2 -1 & 2 & -4 & 1 & | & 1 3 & 0 & 0 & -3 & | & -3

Passo 3

Vamos começar com a Eliminação de Gauss. O objetivo aqui é transformar a matriz em uma forma triangular superior, onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zeros.
Primeiro, vamos zerar o elemento abaixo do R2 = R2 - 2 times R1 na segunda linha. Para isso, fazemos:
R2 = (2, 1, -2, -2 | -2) - 2 times (1, -1, 2, -1 | -1) = (0, 3, -6, 0 | 0)
Aplicando:

Passo 4

Agora, vamos zerar o elemento abaixo do R3 = R3 + R1 na terceira linha:
R3 = (-1, 2, -4, 1 | 1) + (1, -1, 2, -1 | -1) = (0, 1, -2, 0 | 0)
Aplicando:

Passo 5

Também precisamos zerar o elemento abaixo do R4 = R4 - 3 times R1 na quarta linha:
R4 = (3, 0, 0, -3 | -3) - 3 times (1, -1, 2, -1 | -1) = (0, 3, -6, 0 | 0)
Aplicando:
1 & -1 & 2 & -1 & | & -1 0 & 3 & -6 & 0 & | & 0 0 & 1 & -2 & 0 & | & 0 0 & 3 & -6 & 0 & | & 0
Agora, nossa matriz fica assim:

Passo 6

Observamos que a segunda e a quarta linhas são iguais. Podemos eliminar a quarta linha:
R4 = R4 - R2 Rightarrow (0, 3, -6, 0 | 0) - (0, 3, -6, 0 | 0) = (0, 0, 0, 0 | 0)
A matriz atualizada:
1 & -1 & 2 & -1 & | & -1 0 & 3 & -6 & 0 & | & 0 0 & 1 & -2 & 0 & | & 0 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0

Passo 7

Agora, vamos simplificar a segunda linha dividindo todos os termos por 3:
R2 = 13 R2 Rightarrow (0, 1, -2, 0 | 0)
A matriz fica:
1 & -1 & 2 & -1 & | & -1 0 & 1 & -2 & 0 & | & 0 0 & 1 & -2 & 0 & | & 0 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0

Passo 8

Vamos eliminar o R3 = R3 - R2 Rightarrow (0, 1, -2, 0 | 0) - (0, 1, -2, 0 | 0) = (0, 0, 0, 0 | 0) da terceira linha subtraindo a segunda linha da terceira:
1 & -1 & 2 & -1 & | & -1 0 & 1 & -2 & 0 & | & 0 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0
A matriz fica:

Passo 9

Agora, temos duas equações independentes:
  1. y = 2z
Vamos resolver a segunda equação para :

Passo 10

Substituindo x - (2z) + 2z - w = -1 x - w = -1 x = w - 1 na primeira equação:

Passo 11

Como temos mais de uma incógnita, vamos atribuir valores livres. Por exemplo, podemos deixar y = 2t x = s - 1 e , onde e são parâmetros livres.
Então:

Passo 12

Portanto, a solução do sistema pode ser expressa em termos dos parâmetros x = s - 1 y = 2t z = t w = s e :

Resposta

A solução geral do sistema é:
x = w - 1 y = 2z z é livre w é livre éé
Ou, em termos de parâmetros livres x = s - 1 y = 2t z = t w = s e :

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