Resolva cada um dos seguintes sistemas por eliminação de Gauss-Jordan e eliminação Gaussiana.

Passo 1

Opa! Então, a gente tem um sistema de quatro equações com quatro incógnitas: , , e . Vamos resolver esse sistema usando dois métodos: a Eliminação de Gauss e a Eliminação de Gauss-Jordan. Para isso, vamos organizar as equações em uma matriz aumentada e realizar umas manobras matemáticas para encontrar os valores de cada variável.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema. A matriz aumentada combina os coeficientes das variáveis com os termos constantes das equações:

Passo 3

Vamos começar com a Eliminação de Gauss. O objetivo aqui é transformar a matriz em uma forma triangular superior, onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zeros.
Primeiro, vamos zerar o elemento abaixo do na segunda linha. Para isso, fazemos:
Aplicando:

Passo 4

Agora, vamos zerar o elemento abaixo do na terceira linha:
Aplicando:

Passo 5

Também precisamos zerar o elemento abaixo do na quarta linha:
Aplicando:
Agora, nossa matriz fica assim:

Passo 6

Observamos que a segunda e a quarta linhas são iguais. Podemos eliminar a quarta linha:
A matriz atualizada:

Passo 7

Agora, vamos simplificar a segunda linha dividindo todos os termos por 3:
A matriz fica:

Passo 8

Vamos eliminar o da terceira linha subtraindo a segunda linha da terceira:
A matriz fica:

Passo 9

Agora, temos duas equações independentes:
Vamos resolver a segunda equação para :

Passo 10

Substituindo na primeira equação:

Passo 11

Como temos mais de uma incógnita, vamos atribuir valores livres. Por exemplo, podemos deixar e , onde e são parâmetros livres.
Então:

Passo 12

Portanto, a solução do sistema pode ser expressa em termos dos parâmetros e :

Resposta

A solução geral do sistema é:
éé
Ou, em termos de parâmetros livres e :

Exercícios relacionados

Resolva cada um dos seguintes sistemas por eliminação de Gauss-Jordan e eliminação Gaussiana.
Dados os sistemas lineares a seguir:
  • Resolva os sistemas lineares por escalonamento;
  • Classifique os sistemas lineares quanto ao número de soluções (utilize a definição de posto da matriz) e determine grau de liberdade (se o sistema for possível e indeterminado).
Resolva o sistema linear dado por qualquer método:
definida por , onde