Resolva cada um dos seguintes sistemas por eliminação de Gauss-Jordan e eliminação Gaussiana.
Passo 1
Opa! Então, a gente tem um sistema de quatro equações com quatro incógnitas: , , e . Vamos resolver esse sistema usando dois métodos: a Eliminação de Gauss e a Eliminação de Gauss-Jordan. Para isso, vamos organizar as equações em uma matriz aumentada e realizar umas manobras matemáticas para encontrar os valores de cada variável.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema. A matriz aumentada combina os coeficientes das variáveis com os termos constantes das equações:
Passo 3
Vamos começar com a Eliminação de Gauss. O objetivo aqui é transformar a matriz em uma forma triangular superior, onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zeros.
Primeiro, vamos zerar o elemento abaixo do na segunda linha. Para isso, fazemos:
Aplicando:
Passo 4
Agora, vamos zerar o elemento abaixo do na terceira linha:
Aplicando:
Passo 5
Também precisamos zerar o elemento abaixo do na quarta linha:
Aplicando:
Agora, nossa matriz fica assim:
Passo 6
Observamos que a segunda e a quarta linhas são iguais. Podemos eliminar a quarta linha:
A matriz atualizada:
Passo 7
Agora, vamos simplificar a segunda linha dividindo todos os termos por 3:
A matriz fica:
Passo 8
Vamos eliminar o da terceira linha subtraindo a segunda linha da terceira:
A matriz fica:
Passo 9
Agora, temos duas equações independentes:
Vamos resolver a segunda equação para :
Passo 10
Substituindo na primeira equação:
Passo 11
Como temos mais de uma incógnita, vamos atribuir valores livres. Por exemplo, podemos deixar e , onde e são parâmetros livres.
Então:
Passo 12
Portanto, a solução do sistema pode ser expressa em termos dos parâmetros e :