O vetor u=(1,-1,3) pode ser escrito como combinação linear de v=(-1,1,0) e w= (2,3, 13) ? u cdot(1,1,1)=-1, em que v=(4,-1,5) e w= (1,-2,3)

Passo 1

Beleza, vamos começar! O enunciado nos pergunta se o vetor u = (1, -1, 3) pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores v = (-1, 1, 0) e w = (2, 3, 13). Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinação linear e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa combinação linear. Queremos encontrar números (escalas) a e b tais que:
u = av + bw
Ou seja:
(1, -1, 3) = a(-1, 1, 0) + b(2, 3, 13)

Passo 3

Vamos distribuir os coeficientes a e b nos vetores v e w:
(1, -1, 3) = (-a + 2b, ; a + 3b, ; 0 + b3)
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
-a + 2b = 1 a + 3b = -1 b3 = 3

Passo 4

Vamos resolver o sistema passo a passo. Começamos pela terceira equação para encontrar b:
b3 = 3 implies b = 9

Passo 5

Agora, substituímos b = 9 na segunda equação para encontrar a:
a + 3(9) = -1 implies a + 27 = -1 implies a = -28

Passo 6

Por último, vamos verificar se esses valores de a e b satisfazem a primeira equação:
-(-28) + 2(9) = 28 + 18 = 46 neq 1
Como 46 não é igual a 1, isso significa que o sistema não tem solução consistente.

Resposta

Não, o vetor u = (1, -1, 3) não pode ser escrito como combinação linear dos vetores v = (-1, 1, 0) e w = (2, 3, 13).

Exercícios relacionados