Dados subespaços
e
de um espaço vetorial
, a soma de
e
, denotada de
, é o conjunto de todos os vetores em
que podem ser escritos como a soma de dois vetores, um em
e outro em
, ou seja:
b) Mostre que
e
são subespaços de
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois subespaços,
e
, de um espaço vetorial
. A soma desses subespaços, denotada por
, é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de
e outro de
. Nosso objetivo é mostrar que tanto
quanto
são subespaços de
. Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço e como verificar se um conjunto é um subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço. Um subespaço de um espaço vetorial é um conjunto que satisfaz três propriedades:
- Contém o vetor zero.
- É fechado sob adição (se você pegar dois vetores no subespaço e somar, o resultado também está no subespaço).
- É fechado sob multiplicação por escalar (se você multiplicar um vetor do subespaço por qualquer escalar, o resultado também está no subespaço).
Agora, queremos mostrar que
é um subespaço de
.
Passo 3
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero de
está em
. Sabemos que o zero está em
porque
é um subespaço. Além disso, podemos escrever o vetor zero como
, onde
e
. Portanto,
está em
.
Passo 4
Agora, vamos verificar se a soma de dois vetores em
está também em
. Seja
e
vetores em
. A soma
está em
porque
é um subespaço. Além disso, podemos escrever essa soma como
, onde
e
. Assim, a soma está em
.
Passo 5
Por último, vamos verificar se a multiplicação de um vetor de
por um escalar está em
. Seja
um escalar e
um vetor em
. O produto
está em
porque
é um subespaço. Podemos escrever
, onde
e
. Portanto,
está em
.
Passo 6
Com isso, mostramos que
satisfaz as três propriedades para ser um subespaço de
. A mesma lógica se aplica para
. Ou seja, o vetor zero está em
, a soma de dois vetores de
está em
e a multiplicação de um vetor de
por um escalar também está em
. Portanto,
também é um subespaço de
.
Resposta
Assim, demonstramos que tanto
quanto
são subespaços de
.
Exercícios relacionados
Dados
e
calcular
Desenhe os seguintes vetores na posição padrão em
:
(a)
(b)
©
(d)
(a)
(b)
©
(d)
Dados
,
e
, calcular
Nos ítens abaixo, determine se o conjunto dado é um subespaço de
(conjunto dos polinômios com grau igual ou menor do que
) para um valor apropriado de
. Justifique suas respostas:
a) Todos os polinômios da forma , com
em
a) Todos os polinômios da forma