Dados subespaços e de um espaço vetorial , a soma de e , denotada de , é o conjunto de todos os vetores em que podem ser escritos como a soma de dois vetores, um em e outro em , ou seja:
b) Mostre que e são subespaços de .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois subespaços, e , de um espaço vetorial . A soma desses subespaços, denotada por , é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de e outro de . Nosso objetivo é mostrar que tanto quanto são subespaços de . Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço e como verificar se um conjunto é um subespaço.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço. Um subespaço de um espaço vetorial é um conjunto que satisfaz três propriedades:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado sob adição (se você pegar dois vetores no subespaço e somar, o resultado também está no subespaço).
  3. É fechado sob multiplicação por escalar (se você multiplicar um vetor do subespaço por qualquer escalar, o resultado também está no subespaço).
Agora, queremos mostrar que é um subespaço de .

Passo 3

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero de está em . Sabemos que o zero está em porque é um subespaço. Além disso, podemos escrever o vetor zero como , onde e . Portanto, está em .

Passo 4

Agora, vamos verificar se a soma de dois vetores em está também em . Seja e vetores em . A soma está em porque é um subespaço. Além disso, podemos escrever essa soma como , onde e . Assim, a soma está em .

Passo 5

Por último, vamos verificar se a multiplicação de um vetor de por um escalar está em . Seja um escalar e um vetor em . O produto está em porque é um subespaço. Podemos escrever , onde e . Portanto, está em .

Passo 6

Com isso, mostramos que satisfaz as três propriedades para ser um subespaço de . A mesma lógica se aplica para . Ou seja, o vetor zero está em , a soma de dois vetores de está em e a multiplicação de um vetor de por um escalar também está em . Portanto, também é um subespaço de .

Resposta

Assim, demonstramos que tanto quanto são subespaços de .

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Dados e calcular
Desenhe os seguintes vetores na posição padrão em :
(a)
(b)
©
(d)
Dados , e , calcular
Nos ítens abaixo, determine se o conjunto dado é um subespaço de (conjunto dos polinômios com grau igual ou menor do que ) para um valor apropriado de . Justifique suas respostas:
a) Todos os polinômios da forma , com em