Nos ítens abaixo, determine se o conjunto dado é um subespaço de (conjunto dos polinômios com grau igual ou menor do que ) para um valor apropriado de . Justifique suas respostas:
a) Todos os polinômios da forma , com em

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar se o conjunto de todos os polinômios da forma , onde é um número real, é um subespaço de (o conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a ). Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear sobre subespaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é considerado um subespaço se satisfaz três condições:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado sob adição (se você somar dois vetores de , o resultado também está em ).
  3. É fechado sob multiplicação por escalar (se você multiplicar um vetor de por um número real, o resultado também está em ).

Passo 3

Agora, vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto dado .
1. Vetor zero:
O vetor zero no espaço dos polinômios é o polinômio constante zero, ou seja, . Se escolhermos , então , que está no conjunto. Portanto, a primeira condição é satisfeita.
2. Fechado sob adição:
Vamos considerar dois polinômios no conjunto: e . A soma deles é:
Como é um número real, também está no conjunto. Portanto, o conjunto é fechado sob adição.
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos multiplicar um polinômio do conjunto por um escalar :
Como é um número real, também está no conjunto. Assim, o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 4

Além disso, precisamos garantir que os polinômios do conjunto estão dentro de . Como nossos polinômios são da forma , o grau deles é no máximo 2. Portanto, para que eles pertençam a , devemos ter .

Resposta

Sim, o conjunto de todos os polinômios da forma com é um subespaço de para todo .

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Dados , e , calcular
Dados subespaços e de um espaço vetorial , a soma de e , denotada de , é o conjunto de todos os vetores em que podem ser escritos como a soma de dois vetores, um em e outro em , ou seja:
b) Mostre que e são subespaços de .
Mostre se os conjuntos abaixo formam ou não espaço vetorial. Em caso negativo, indique quais axiomas não são respeitados:
b) matrizes , com .
Dados , e , calcular

(5. Calcular o módulo dos segúintes vetores: