Dados os Subespaços,
de
. Determine
b) uma base e dimensão de
.
de
b) uma base e dimensão de
Passo 1
Beleza, vamos resolver a parte b) do exercício. A gente tem dois subespaços de
, que é o espaço dos polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais. O subespaço
é definido por todos os polinômios
que satisfazem
e
. Nosso objetivo aqui é encontrar uma base para
e determinar a dimensão desse subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um polinômio de grau no máximo 2 tem a forma geral:
onde
são números reais.
Passo 3
Agora, vamos aplicar as condições que definem o subespaço
. A primeira condição é
. Substituindo
na expressão do polinômio, temos:
Então, já sabemos que
.
Passo 4
A segunda condição é
. Substituindo
na expressão do polinômio, obtemos:
Já sabemos que
, então a equação fica:
Passo 5
Com isso, podemos reescrever o polinômio
usando a relação que encontramos para
:
Isso mostra que todo polinômio em
é múltiplo de
.
Passo 6
Então, fica claro que
é gerado pelo polinômio
. Isso significa que a base de
é composta apenas por esse polinômio. Além disso, como há apenas um vetor na base, a dimensão de
é 1.
Resposta
Uma base de
é
e a dimensão de
é 1.