Dados os Subespaços,
U=p(t) in P^2(R) / p^prime(t)=0
W=p(t) in P^2(R) / p(0)=p(1)=0
de V=P^2(R). Determine
b) uma base e dimensão de W.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte b) do exercício. A gente tem dois subespaços de , que é o espaço dos polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais. O subespaço é definido por todos os polinômios que satisfazem e . Nosso objetivo aqui é encontrar uma base para e determinar a dimensão desse subespaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um polinômio de grau no máximo 2 tem a forma geral:
p(t) = at^2 + bt + c
onde são números reais.

Passo 3

Agora, vamos aplicar as condições que definem o subespaço p(0) = a(0)^2 + b(0) + c = c = 0 . A primeira condição é . Substituindo na expressão do polinômio, temos:
Então, já sabemos que .

Passo 4

A segunda condição é p(1) = a(1)^2 + b(1) + c = a + b + c = 0 . Substituindo a + b = 0 Rightarrow b = -a na expressão do polinômio, obtemos:
Já sabemos que , então a equação fica:

Passo 5

Com isso, podemos reescrever o polinômio p(t) = at^2 + bt + c = at^2 - a t + 0 = a(t^2 - t) usando a relação que encontramos para :
Isso mostra que todo polinômio em é múltiplo de .

Passo 6

Então, fica claro que é gerado pelo polinômio . Isso significa que a base de é composta apenas por esse polinômio. Além disso, como há apenas um vetor na base, a dimensão de é 1.

Resposta

Uma base de é e a dimensão de é 1.

Exercícios relacionados

Coloque V para as assertivas verdadeiras e F para as falsas. Justifique-as.
e) ( ) A matriz (cc0 & -2 0 & 1) pertence ao subespaço W=(cc2 a & a+b a & a-b) ; a, b in RR
Seja A uma matriz n times n. Demonstre as seguintes afirmações:
(i) Se A é inversível e existe uma matriz B, n times n, tal que A B=0, então B=0.
(ii) Se A não é inversível, existe uma matriz não nula B, n times n tal que A B=0.
Dados os Subespaços,
U=p(t) in P^2(R) / p^prime(t)=0
W=p(t) in P^2(R) / p(0)=p(1)=0
de V=P^2(R). Determine
d) uma base e dimensão de U+W.
Dados os Subespaços,
U=p(t) in P^2(R) / p^prime(t)=0
W=p(t) in P^2(R) / p(0)=p(1)=0
de V=P^2(R). Determine
e) Escreva p(t)=3+t-t^2 na base de W.