Dados os Subespaços,
de
. Determine
d) uma base e dimensão de
.
de
d) uma base e dimensão de
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem dois subespaços dentro de
, que é o espaço de todos os polinômios de grau até 2 com coeficientes reais. Queremos encontrar uma base e a dimensão de
.
- Subespaço
: Conjunto de polinômios tal que a derivada . Isso significa que contém apenas polinômios constantes. - Subespaço
: Conjunto de polinômios que satisfazem . Esses polinômios têm raízes em e .
Para resolver isso, vamos precisar entender como somar subespaços e encontrar uma base para a soma deles.
Passo 2
Primeiro, vamos descrever os subespaços
e
de forma mais explícita.
Subespaço
:
Como , isso implica que
é uma constante. Então, podemos escrever:
Como
Uma base para
é simplesmente
, já que qualquer constante pode ser escrita como múltiplo de 1. Portanto, a dimensão de
é 1.
Subespaço
:
Os polinômios em satisfazem
e
. Vamos considerar um polinômio geral de segundo grau:
Os polinômios em
Aplicando as condições:
Como
e
, podemos expressar
. Então, os polinômios em
têm a forma:
Logo, uma base para
é
e a dimensão de
é 1.
Passo 3
Agora, queremos encontrar
, que é o conjunto de todos os polinômios que podem ser escritos como a soma de um polinômio de
e um de
:
Vamos expressar isso de forma geral. Seja
(um polinômio constante) e
:
Isso significa que qualquer polinômio em
tem a forma:
Passo 4
Para encontrar uma base para
, precisamos identificar um conjunto de polinômios que sejam linearmente independentes e que gerem todos os elementos de
.
Observando a forma geral de
, podemos reescrever isso como:
Isso sugere que os polinômios
e
podem ser candidatos a uma base para
.
Vamos verificar a linearidade. Suponha que exista uma combinação linear que resulte em zero:
Isso implica que:
Para que isso seja verdadeiro para todo
, os coeficientes devem ser zero:
Portanto, os polinômios são linearmente independentes.
Passo 5
Como encontramos dois polinômios que são linearmente independentes e que geram
, podemos concluir que a base de
é
.
A dimensão de
é o número de vetores na base, que neste caso é 2.
Resposta
Uma base para
é
e a dimensão de
é 2.