Dados os Subespaços,
U=p(t) in P^2(R) / p^prime(t)=0
W=p(t) in P^2(R) / p(0)=p(1)=0
de V=P^2(R). Determine
d) uma base e dimensão de U+W.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem dois subespaços dentro de , que é o espaço de todos os polinômios de grau até 2 com coeficientes reais. Queremos encontrar uma base e a dimensão de .
  • Subespaço : Conjunto de polinômios tal que a derivada . Isso significa que contém apenas polinômios constantes.
  • Subespaço : Conjunto de polinômios que satisfazem . Esses polinômios têm raízes em e .
Para resolver isso, vamos precisar entender como somar subespaços e encontrar uma base para a soma deles.

Passo 2

Primeiro, vamos descrever os subespaços U = p(t) = c , | , c in R e p(t) = at^2 + bt + c de forma mais explícita.
Subespaço p(t) = a t^2 - a t = a(t^2 - t) :
Como , isso implica que é uma constante. Então, podemos escrever:
Uma base para é simplesmente , já que qualquer constante pode ser escrita como múltiplo de 1. Portanto, a dimensão de é 1.
Subespaço :
Os polinômios em satisfazem e . Vamos considerar um polinômio geral de segundo grau:
Aplicando as condições:
Como e , podemos expressar . Então, os polinômios em têm a forma:
Logo, uma base para é e a dimensão de é 1.

Passo 3

Agora, queremos encontrar U + W = u + w , | , u in U, w in W , que é o conjunto de todos os polinômios que podem ser escritos como a soma de um polinômio de u + w = c + a(t^2 - t) e um de p(t) = a t^2 - a t + c :
Vamos expressar isso de forma geral. Seja (um polinômio constante) e :
Isso significa que qualquer polinômio em tem a forma:

Passo 4

Para encontrar uma base para p(t) = a(t^2 - t) + c(1) , precisamos identificar um conjunto de polinômios que sejam linearmente independentes e que gerem todos os elementos de k1(t^2 - t) + k2(1) = 0 .
Observando a forma geral de k1 t^2 - k1 t + k2 = 0 , podemos reescrever isso como:
k1 = 0, -k1 = 0, k2 = 0
Isso sugere que os polinômios e podem ser candidatos a uma base para .
Vamos verificar a linearidade. Suponha que exista uma combinação linear que resulte em zero:
Isso implica que:
Para que isso seja verdadeiro para todo , os coeficientes devem ser zero:
Portanto, os polinômios são linearmente independentes.

Passo 5

Como encontramos dois polinômios que são linearmente independentes e que geram , podemos concluir que a base de é .
A dimensão de é o número de vetores na base, que neste caso é 2.

Resposta

Uma base para é e a dimensão de é 2.

Exercícios relacionados