Dados os Subespaços,
U=p(t) in P^2(R) / p^prime(t)=0
W=p(t) in P^2(R) / p(0)=p(1)=0
de V=P^2(R). Determine
d) uma base e dimensão de U+W.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem dois subespaços dentro de , que é o espaço de todos os polinômios de grau até 2 com coeficientes reais. Queremos encontrar uma base e a dimensão de .
  • Subespaço : Conjunto de polinômios tal que a derivada . Isso significa que contém apenas polinômios constantes.
  • Subespaço : Conjunto de polinômios que satisfazem . Esses polinômios têm raízes em e .
Para resolver isso, vamos precisar entender como somar subespaços e encontrar uma base para a soma deles.

Passo 2

Primeiro, vamos descrever os subespaços U = p(t) = c , | , c in R e p(t) = at^2 + bt + c de forma mais explícita.
Subespaço p(t) = a t^2 - a t = a(t^2 - t) :
Como , isso implica que é uma constante. Então, podemos escrever:
Uma base para é simplesmente , já que qualquer constante pode ser escrita como múltiplo de 1. Portanto, a dimensão de é 1.
Subespaço :
Os polinômios em satisfazem e . Vamos considerar um polinômio geral de segundo grau:
Aplicando as condições:
Como e , podemos expressar . Então, os polinômios em têm a forma:
Logo, uma base para é e a dimensão de é 1.

Passo 3

Agora, queremos encontrar U + W = u + w , | , u in U, w in W , que é o conjunto de todos os polinômios que podem ser escritos como a soma de um polinômio de u + w = c + a(t^2 - t) e um de p(t) = a t^2 - a t + c :
Vamos expressar isso de forma geral. Seja (um polinômio constante) e :
Isso significa que qualquer polinômio em tem a forma:

Passo 4

Para encontrar uma base para p(t) = a(t^2 - t) + c(1) , precisamos identificar um conjunto de polinômios que sejam linearmente independentes e que gerem todos os elementos de k1(t^2 - t) + k2(1) = 0 .
Observando a forma geral de k1 t^2 - k1 t + k2 = 0 , podemos reescrever isso como:
k1 = 0, -k1 = 0, k2 = 0
Isso sugere que os polinômios e podem ser candidatos a uma base para .
Vamos verificar a linearidade. Suponha que exista uma combinação linear que resulte em zero:
Isso implica que:
Para que isso seja verdadeiro para todo , os coeficientes devem ser zero:
Portanto, os polinômios são linearmente independentes.

Passo 5

Como encontramos dois polinômios que são linearmente independentes e que geram , podemos concluir que a base de é .
A dimensão de é o número de vetores na base, que neste caso é 2.

Resposta

Uma base para é e a dimensão de é 2.

Exercícios relacionados

Dados os Subespaços,
U=p(t) in P^2(R) / p^prime(t)=0
W=p(t) in P^2(R) / p(0)=p(1)=0
de V=P^2(R). Determine
b) uma base e dimensão de W.
Coloque V para as assertivas verdadeiras e F para as falsas. Justifique-as.
e) ( ) A matriz (cc0 & -2 0 & 1) pertence ao subespaço W=(cc2 a & a+b a & a-b) ; a, b in RR
Dados os Subespaços,
U=p(t) in P^2(R) / p^prime(t)=0
W=p(t) in P^2(R) / p(0)=p(1)=0
de V=P^2(R). Determine
e) Escreva p(t)=3+t-t^2 na base de W.
Seja A=(ai j)n times n uma matriz quadrada de ordem n. Definimos o traço de A, e denotamos por Tr(A), a soma das entradas da diagonal principal. Assim,
Tr(A)=sumk=1^n ak k=a11+a22+a33+a44+ldots+an n
Considere, agora, as seguintes matrizes
A=[rrr 1 & -1 & -3 1 & 3 & -5 9 & -2 & 1 ] e B=[lll 0 & 1 & 1 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 ]
Calcule Tr(A), Tr(B) e verifique que:
(a) Tr(A+B)=Tr(A)+Tr(B);
(b) Tr(lambda A)=lambda Tr(A), forall lambda in R
© Tr(A B)=Tr(B A);
(d) Tr(A^t)=Tr(A);
(e) Tr(A A^t)>0 e Tr(B B^t)>0.
As propriedades de 1 a 4 valem pra qualquer par de matrizes e a 5 vale sempre que A neq 0. Tente provar isso.