Beleza, vamos lá! Você tem dois subespaços dentro de , que é o espaço de todos os polinômios de grau até 2 com coeficientes reais. Queremos encontrar uma base e a dimensão de .
Subespaço : Conjunto de polinômios tal que a derivada . Isso significa que contém apenas polinômios constantes.
Subespaço : Conjunto de polinômios que satisfazem . Esses polinômios têm raízes em e .
Para resolver isso, vamos precisar entender como somar subespaços e encontrar uma base para a soma deles.
Passo 2
Primeiro, vamos descrever os subespaços e de forma mais explícita.
Subespaço :
Como , isso implica que é uma constante. Então, podemos escrever:
Uma base para é simplesmente , já que qualquer constante pode ser escrita como múltiplo de 1. Portanto, a dimensão de é 1.
Subespaço :
Os polinômios em satisfazem e . Vamos considerar um polinômio geral de segundo grau:
Aplicando as condições:
Como e , podemos expressar . Então, os polinômios em têm a forma:
Logo, uma base para é e a dimensão de é 1.
Passo 3
Agora, queremos encontrar , que é o conjunto de todos os polinômios que podem ser escritos como a soma de um polinômio de e um de :
Vamos expressar isso de forma geral. Seja (um polinômio constante) e :
Isso significa que qualquer polinômio em tem a forma:
Passo 4
Para encontrar uma base para , precisamos identificar um conjunto de polinômios que sejam linearmente independentes e que gerem todos os elementos de .
Observando a forma geral de , podemos reescrever isso como:
Isso sugere que os polinômios e podem ser candidatos a uma base para .
Vamos verificar a linearidade. Suponha que exista uma combinação linear que resulte em zero:
Isso implica que:
Para que isso seja verdadeiro para todo , os coeficientes devem ser zero:
Portanto, os polinômios são linearmente independentes.
Passo 5
Como encontramos dois polinômios que são linearmente independentes e que geram , podemos concluir que a base de é .
A dimensão de é o número de vetores na base, que neste caso é 2.