Dados os subespaços de :
encontre o subespaço . É verdade que ? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá dois subespaços de , chamados e , definidos pelas equações:
O que a gente precisa fazer é encontrar , que é a soma desses dois subespaços, e verificar se e formam uma soma direta, ou seja, se é verdadeiro. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como a soma de subespaços e a verificação de independência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa . A soma de dois subespaços e em é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de e outro de :
Para encontrar , precisamos descrever todos esses vetores resultantes.
Passo 3
Vamos começar encontrando uma base para cada subespaço. Para , temos a equação . Podemos resolver essa equação em termos de duas variáveis livres. Por exemplo, vamos resolver para :
Então, qualquer vetor em pode ser escrito como:
Portanto, uma base para é .
Passo 4
Agora, vamos fazer o mesmo para , cuja equação é . Resolvendo para :
Então, qualquer vetor em pode ser escrito como:
Assim, uma base para é .
Passo 5
Agora que temos as bases de e , podemos descrever a soma . Para isso, consideramos todas as combinações lineares dos vetores das duas bases:
Para simplificar, vamos verificar se esses vetores são linearmente independentes ou não.
Passo 6
Observando os vetores:
Esses dois vetores são lineares, pois um é múltiplo do outro? Não, porque não existe um escalar tal que . O mesmo vale para os vetores e . Portanto, todos os quatro vetores são linearmente independentes.
No entanto, em , o máximo de vetores linearmente independentes é 3. Isso indica que há uma dependência linear entre os quatro vetores.
Passo 7
Para encontrar a soma , podemos concluir que será todo o espaço , pois temos três vetores linearmente independentes que geram o espaço tridimensional.
Passo 8
Agora, vamos verificar se é verdadeiro. A soma direta ocorre se e somente se , ou seja, a única solução comum às duas equações é o vetor nulo.
Vamos resolver o sistema:
Somando as duas equações:
Substituindo na primeira equação:
Portanto, os vetores na interseção são da forma . Para que esta interseção seja apenas o vetor nulo, precisamos que , resultando em .
Passo 9
Como a interseção , concluímos que a soma é direta, ou seja, é verdadeiro.
Resposta
A soma dos subespaços é todo o espaço e é verdadeiro, já que a interseção de e contém apenas o vetor nulo.