Dados os subespaços de : encontre o subespaço . É verdade que ? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá dois subespaços de , chamados e , definidos pelas equações: O que a gente precisa fazer é encontrar , que é a soma desses dois subespaços, e verificar se e formam uma soma direta, ou seja, se é verdadeiro. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como a soma de subespaços e a verificação de independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . A soma de dois subespaços e em é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de e outro de : Para encontrar , precisamos descrever todos esses vetores resultantes.

Passo 3

Vamos começar encontrando uma base para cada subespaço. Para , temos a equação . Podemos resolver essa equação em termos de duas variáveis livres. Por exemplo, vamos resolver para : Então, qualquer vetor em pode ser escrito como: Portanto, uma base para é .

Passo 4

Agora, vamos fazer o mesmo para , cuja equação é . Resolvendo para : Então, qualquer vetor em pode ser escrito como: Assim, uma base para é .

Passo 5

Agora que temos as bases de e , podemos descrever a soma . Para isso, consideramos todas as combinações lineares dos vetores das duas bases: Para simplificar, vamos verificar se esses vetores são linearmente independentes ou não.

Passo 6

Observando os vetores: Esses dois vetores são lineares, pois um é múltiplo do outro? Não, porque não existe um escalar tal que . O mesmo vale para os vetores e . Portanto, todos os quatro vetores são linearmente independentes. No entanto, em , o máximo de vetores linearmente independentes é 3. Isso indica que há uma dependência linear entre os quatro vetores.

Passo 7

Para encontrar a soma , podemos concluir que será todo o espaço , pois temos três vetores linearmente independentes que geram o espaço tridimensional.

Passo 8

Agora, vamos verificar se é verdadeiro. A soma direta ocorre se e somente se , ou seja, a única solução comum às duas equações é o vetor nulo. Vamos resolver o sistema: Somando as duas equações: Substituindo na primeira equação: Portanto, os vetores na interseção são da forma . Para que esta interseção seja apenas o vetor nulo, precisamos que , resultando em .

Passo 9

Como a interseção , concluímos que a soma é direta, ou seja, é verdadeiro.

Resposta

A soma dos subespaços é todo o espaço e é verdadeiro, já que a interseção de e contém apenas o vetor nulo.

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Escreva os sistemas abaixo na forma matricial, isto é, .
Quais dos seguintes vetores são combinações lineares de , :
Uma refinaria processa dois tipos de petróleo: com alto teor de enxofre e com baixo teor de enxofre. Cada tonelada de petróleo com baixo teor exige 5 minutos na unidade de mistura e 4 minutos na refinação. Cada tonelada de alto teor exige 4 minutos de mistura e 2 minutos de refinação. Se a unidade de mistura está disponível durante 3 horas e a refinaria durante 2 horas, quantas toneladas de cada tipo de petróleo deveriam ser processados para que as duas unidades sejam completamente utilizadas?