Dados os subespaços de R^3:
& W1=(x, y, z) in R^3: 2 x+3 y+z=0 e & W2=(x, y, z) in R^3: 4 x+3 y-z=0
encontre o subespaço W1+W2. É verdade que W1 oplus W2 ? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá dois subespaços de & W1=(x, y, z) in R^3: 2x + 3y + z = 0 & W2=(x, y, z) in R^3: 4x + 3y - z = 0 , chamados e , definidos pelas equações:
O que a gente precisa fazer é encontrar , que é a soma desses dois subespaços, e verificar se e formam uma soma direta, ou seja, se é verdadeiro. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como a soma de subespaços e a verificação de independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa W1 + W2 = u + v , | , u in W1, v in W2 . A soma de dois subespaços e em é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de e outro de :
Para encontrar , precisamos descrever todos esses vetores resultantes.

Passo 3

Vamos começar encontrando uma base para cada subespaço. Para z = -2x - 3y , temos a equação (x, y, z) = ( x, y, -2x - 3y ) = x(1, 0, -2) + y(0, 1, -3) . Podemos resolver essa equação em termos de duas variáveis livres. Por exemplo, vamos resolver para :
Então, qualquer vetor em pode ser escrito como:
Portanto, uma base para é .

Passo 4

Agora, vamos fazer o mesmo para z = 4x + 3y , cuja equação é (x, y, z) = ( x, y, 4x + 3y ) = x(1, 0, 4) + y(0, 1, 3) . Resolvendo para :
Então, qualquer vetor em pode ser escrito como:
Assim, uma base para é .

Passo 5

Agora que temos as bases de W1 + W2 = span (1, 0, -2), (0, 1, -3), (1, 0, 4), (0, 1, 3) e , podemos descrever a soma . Para isso, consideramos todas as combinações lineares dos vetores das duas bases:
Para simplificar, vamos verificar se esses vetores são linearmente independentes ou não.

Passo 6

Observando os vetores:
(1, 0, -2) e (1, 0, 4)
Esses dois vetores são lineares, pois um é múltiplo do outro? Não, porque não existe um escalar tal que . O mesmo vale para os vetores e . Portanto, todos os quatro vetores são linearmente independentes.
No entanto, em , o máximo de vetores linearmente independentes é 3. Isso indica que há uma dependência linear entre os quatro vetores.

Passo 7

Para encontrar a soma , podemos concluir que será todo o espaço , pois temos três vetores linearmente independentes que geram o espaço tridimensional.

Passo 8

Agora, vamos verificar se 2x + 3y + z = 0 4x + 3y - z = 0 é verdadeiro. A soma direta 6x + 6y = 0 implies x + y = 0 implies y = -x ocorre se e somente se 2x + 3(-x) + z = 0 implies 2x - 3x + z = 0 implies -x + z = 0 implies z = x , ou seja, a única solução comum às duas equações é o vetor nulo.
Vamos resolver o sistema:
Somando as duas equações:
Substituindo na primeira equação:
Portanto, os vetores na interseção são da forma . Para que esta interseção seja apenas o vetor nulo, precisamos que , resultando em .

Passo 9

Como a interseção , concluímos que a soma é direta, ou seja, é verdadeiro.

Resposta

A soma dos subespaços é todo o espaço e é verdadeiro, já que a interseção de e contém apenas o vetor nulo.

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