Dados os subespaços de
:
encontre o subespaço
. É verdade que
? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá dois subespaços de
, chamados
e
, definidos pelas equações:
O que a gente precisa fazer é encontrar
, que é a soma desses dois subespaços, e verificar se
e
formam uma soma direta, ou seja, se
é verdadeiro. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como a soma de subespaços e a verificação de independência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. A soma de dois subespaços
e
em
é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de
e outro de
:
Para encontrar
, precisamos descrever todos esses vetores resultantes.
Passo 3
Vamos começar encontrando uma base para cada subespaço. Para
, temos a equação
. Podemos resolver essa equação em termos de duas variáveis livres. Por exemplo, vamos resolver para
:
Então, qualquer vetor em
pode ser escrito como:
Portanto, uma base para
é
.
Passo 4
Agora, vamos fazer o mesmo para
, cuja equação é
. Resolvendo para
:
Então, qualquer vetor em
pode ser escrito como:
Assim, uma base para
é
.
Passo 5
Agora que temos as bases de
e
, podemos descrever a soma
. Para isso, consideramos todas as combinações lineares dos vetores das duas bases:
Para simplificar, vamos verificar se esses vetores são linearmente independentes ou não.
Passo 6
Observando os vetores:
Esses dois vetores são lineares, pois um é múltiplo do outro? Não, porque não existe um escalar
tal que
. O mesmo vale para os vetores
e
. Portanto, todos os quatro vetores são linearmente independentes.
No entanto, em
, o máximo de vetores linearmente independentes é 3. Isso indica que há uma dependência linear entre os quatro vetores.
Passo 7
Para encontrar a soma
, podemos concluir que será todo o espaço
, pois temos três vetores linearmente independentes que geram o espaço tridimensional.
Passo 8
Agora, vamos verificar se
é verdadeiro. A soma direta
ocorre se e somente se
, ou seja, a única solução comum às duas equações é o vetor nulo.
Vamos resolver o sistema:
Somando as duas equações:
Substituindo
na primeira equação:
Portanto, os vetores na interseção são da forma
. Para que esta interseção seja apenas o vetor nulo, precisamos que
, resultando em
.
Passo 9
Como a interseção
, concluímos que a soma é direta, ou seja,
é verdadeiro.
Resposta
A soma dos subespaços
é todo o espaço
e
é verdadeiro, já que a interseção de
e
contém apenas o vetor nulo.