Quais dos seguintes vetores são combinações lineares de A=[cc4 & 0 -2 & -2], B=[cc1 & -1 2 & 3], C=[ll0 & 2 1 & 4]: [cc6 & -8 -1 & -8]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para descobrir se o vetor/matriz 6 & -8 -1 & -8 pode ser construído a partir de combinações lineares das matrizes A, B e C. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente combinações lineares e resolução de sistemas de equações. Para resolver, vamos precisar montar um sistema de equações que representa essa combinação e verificar se ele tem solução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma combinação linear. Dizemos que uma matriz M é uma combinação linear das matrizes A, B e C se existirem escalares x, y e z tais que:
xA + yB + zC = M
No nosso caso, queremos:
x4 & 0 -2 & -2 + y1 & -1 2 & 3 + z0 & 2 1 & 4 = 6 & -8 -1 & -8

Passo 3

Vamos multiplicar cada matriz pelos seus respectivos coeficientes e somar os resultados:
4x & 0x -2x & -2x + 1y & -1y 2y & 3y + 0z & 2z 1z & 4z = 6 & -8 -1 & -8
Somando as matrizes:
4x + y + 0z & 0x - y + 2z -2x + 2y + z & -2x + 3y + 4z = 6 & -8 -1 & -8

Passo 4

Agora, igualamos cada elemento correspondente das duas matrizes, resultando em um sistema de equações:
  1. 4x + y = 6
  2. -y + 2z = -8
  3. -2x + 2y + z = -1
  4. -2x + 3y + 4z = -8

Passo 5

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da equação 2, podemos isolar y:
-y + 2z = -8 Rightarrow y = 2z + 8

Passo 6

Substituímos y na equação 1:
4x + (2z + 8) = 6 4x + 2z + 8 = 6 4x + 2z = -2 Dividindo todos os termos por 2: 2x + z = -1 (Equação 5) çã

Passo 7

Agora, substituímos y = 2z + 8 na equação 3:
-2x + 2(2z + 8) + z = -1 -2x + 4z + 16 + z = -1 -2x + 5z + 16 = -1 -2x + 5z = -17 (Equação 6) çã

Passo 8

Usamos a Equação 5 ( 2x + z = -1) para expressar x em termos de z:
2x = -1 - z x = -1 - z2

Passo 9

Substituímos x na Equação 6:
-2(-1 - z2) + 5z = -17 Rightarrow (1 + z) + 5z = -17 1 + 6z = -17 6z = -18 z = -3

Passo 10

Agora que temos z = -3, encontramos y usando y = 2z + 8:
y = 2(-3) + 8 = -6 + 8 = 2

Passo 11

Finalmente, encontramos x usando x = -1 - z2:
x = -1 - (-3)2 = -1 + 32 = 22 = 1

Resposta

Os coeficientes são x = 1, y = 2 e z = -3. Portanto, a matriz 6 & -8 -1 & -8 é uma combinação linear de A, B e C com esses valores.

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