Quais dos seguintes vetores são combinações lineares de , :
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para descobrir se o vetor/matriz pode ser construído a partir de combinações lineares das matrizes , e . Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente combinações lineares e resolução de sistemas de equações. Para resolver, vamos precisar montar um sistema de equações que representa essa combinação e verificar se ele tem solução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma combinação linear. Dizemos que uma matriz é uma combinação linear das matrizes , e se existirem escalares , e tais que:
No nosso caso, queremos:
Passo 3
Vamos multiplicar cada matriz pelos seus respectivos coeficientes e somar os resultados:
Somando as matrizes:
Passo 4
Agora, igualamos cada elemento correspondente das duas matrizes, resultando em um sistema de equações:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da equação 2, podemos isolar :
Passo 6
Substituímos na equação 1:
Passo 7
Agora, substituímos na equação 3:
Passo 8
Usamos a Equação 5 () para expressar em termos de :
Passo 9
Substituímos na Equação 6:
Passo 10
Agora que temos , encontramos usando :
Passo 11
Finalmente, encontramos usando :
Resposta
Os coeficientes são , e . Portanto, a matriz é uma combinação linear de , e com esses valores.