Quais dos seguintes vetores são combinações lineares de , :

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para descobrir se o vetor/matriz pode ser construído a partir de combinações lineares das matrizes , e . Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente combinações lineares e resolução de sistemas de equações. Para resolver, vamos precisar montar um sistema de equações que representa essa combinação e verificar se ele tem solução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma combinação linear. Dizemos que uma matriz é uma combinação linear das matrizes , e se existirem escalares , e tais que:
No nosso caso, queremos:

Passo 3

Vamos multiplicar cada matriz pelos seus respectivos coeficientes e somar os resultados:
Somando as matrizes:

Passo 4

Agora, igualamos cada elemento correspondente das duas matrizes, resultando em um sistema de equações:

Passo 5

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da equação 2, podemos isolar :

Passo 6

Substituímos na equação 1:
çã

Passo 7

Agora, substituímos na equação 3:
çã

Passo 8

Usamos a Equação 5 ( ) para expressar em termos de :

Passo 9

Substituímos na Equação 6:

Passo 10

Agora que temos , encontramos usando :

Passo 11

Finalmente, encontramos usando :

Resposta

Os coeficientes são , e . Portanto, a matriz é uma combinação linear de , e com esses valores.

Exercícios relacionados

Resolva os sistemas abaixo por escalonamento.
Sejam uma matriz de ordem e a n-úpla que possui todas as coordenadas nulas, com exceção da -ésima, que é 1 . Mostre que , isto é, a -ésima linha da matriz , e que , isto é, a -ésima coluna da matriz .
Escreva os sistemas abaixo na forma matricial, isto é, .
Dados os subespaços de :
encontre o subespaço . É verdade que ? Justifique.