Quais dos seguintes vetores são combinações lineares de
,
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para descobrir se o vetor/matriz
pode ser construído a partir de combinações lineares das matrizes
,
e
. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente combinações lineares e resolução de sistemas de equações. Para resolver, vamos precisar montar um sistema de equações que representa essa combinação e verificar se ele tem solução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma combinação linear. Dizemos que uma matriz
é uma combinação linear das matrizes
,
e
se existirem escalares
,
e
tais que:
No nosso caso, queremos:
Passo 3
Vamos multiplicar cada matriz pelos seus respectivos coeficientes e somar os resultados:
Somando as matrizes:
Passo 4
Agora, igualamos cada elemento correspondente das duas matrizes, resultando em um sistema de equações:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da equação 2, podemos isolar
:
Passo 6
Substituímos
na equação 1:
Passo 7
Agora, substituímos
na equação 3:
Passo 8
Usamos a Equação 5 (
) para expressar
em termos de
:
Passo 9
Substituímos
na Equação 6:
Passo 10
Agora que temos
, encontramos
usando
:
Passo 11
Finalmente, encontramos
usando
:
Resposta
Os coeficientes são
,
e
. Portanto, a matriz
é uma combinação linear de
,
e
com esses valores.