Dados os Subespaços,
U=p(t) in P^2(R) / p^prime(t)=0
W=p(t) in P^2(R) / p(0)=p(1)=0
de V=P^2(R). Determine
c) uma base e dimensão de U cap W.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois subespaços, e , dentro do espaço , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais. O que a gente precisa fazer aqui é descobrir uma base e a dimensão da interseção desses dois subespaços, ou seja, . Para isso, vamos entender o que cada subespaço representa e como eles se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no subespaço U = p(t) in P^2(R) mid p^prime(t) = 0 :
Isso significa que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2 cuja derivada é zero. Um polinômio cuja derivada é zero não muda com relação a , ou seja, ele é constante. Então, é o conjunto de todos os polinômios constantes.

Passo 3

Agora, vamos ver o subespaço W = p(t) in P^2(R) mid p(0) = p(1) = 0 :
Aqui, é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2 que satisfazem as condições e . Basicamente, são polinômios que passam pelos pontos e .

Passo 4

Agora, queremos encontrar p(0) = c = 0 e p(1) = c = 0 , ou seja, os polinômios que são tanto constantes quanto satisfazem . Como é o conjunto de polinômios constantes, qualquer pode ser escrito como , onde é uma constante real.
Para que também esteja em , precisamos que:
Isso implica que . Portanto, o único polinômio que está em ambos os subespaços é o polinômio constante zero.

Passo 5

Então, U cap W = 0 contém apenas o polinômio zero:
Uma base para é o conjunto que gera esse espaço. Como só temos o vetor zero, a base é o conjunto vazio, o que significa que a dimensão é zero. Em termos de bases, geralmente não incluímos o vetor zero porque ele não adiciona nada à geração do espaço.

Resposta

Uma base para é o conjunto vazio e a dimensão é zero.

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