Dados os Subespaços,
de
. Determine
c) uma base e dimensão de
.
de
c) uma base e dimensão de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem dois subespaços,
e
, dentro do espaço
, que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais. O que a gente precisa fazer aqui é descobrir uma base e a dimensão da interseção desses dois subespaços, ou seja,
. Para isso, vamos entender o que cada subespaço representa e como eles se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no subespaço
:
Isso significa que
é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2 cuja derivada é zero. Um polinômio cuja derivada é zero não muda com relação a
, ou seja, ele é constante. Então,
é o conjunto de todos os polinômios constantes.
Passo 3
Agora, vamos ver o subespaço
:
Aqui,
é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2 que satisfazem as condições
e
. Basicamente, são polinômios que passam pelos pontos
e
.
Passo 4
Agora, queremos encontrar
, ou seja, os polinômios que são tanto constantes quanto satisfazem
. Como
é o conjunto de polinômios constantes, qualquer
pode ser escrito como
, onde
é uma constante real.
Para que
também esteja em
, precisamos que:
Isso implica que
. Portanto, o único polinômio que está em ambos os subespaços é o polinômio constante zero.
Passo 5
Então,
contém apenas o polinômio zero:
Uma base para
é o conjunto que gera esse espaço. Como só temos o vetor zero, a base é o conjunto vazio, o que significa que a dimensão é zero. Em termos de bases, geralmente não incluímos o vetor zero porque ele não adiciona nada à geração do espaço.
Resposta
Uma base para
é o conjunto vazio e a dimensão é zero.
Exercícios relacionados
Os pontos de trisseção do segmento
e
são
e
. Unindo-os ao ponto
, obtêm-se as retas
e
. Calcule o ângulo formado pelas mesmas.
Determine a equação geral do plano
que passa pelo ponto da reta
e é ortogonal lado
do triângulo equilatero
sendo
e sabendo-se que o lado
está contido na reta
. (Dica: Obtenha os os vertices
e
do
e use
e
.
Os vértices de um triângulo são
e
. Forme as equações reduzidas da bissetriz interna do ângulo
e determine sua interseção com o lado
.
Determine as equações da reta
definida pelos pontos
e
com
e