Os vértices de um triângulo são e . Forme as equações reduzidas da bissetriz interna do ângulo e determine sua interseção com o lado .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um triângulo com vértices em , e . A pergunta é para a gente achar as equações reduzidas da bissetriz interna do ângulo e descobrir onde ela cruza o lado . Vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço tridimensional e propriedades das bissetrizes de ângulos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a bissetriz interna de um ângulo. Ela é a reta que divide o ângulo em dois ângulos iguais. No nosso caso, queremos a bissetriz do ângulo formado pelas retas e no ponto .
Passo 3
Vamos começar encontrando os vetores correspondentes às retas e . O vetor vai de a , então:
Já o vetor vai de a , então:
Passo 4
Para achar a bissetriz interna, precisamos encontrar um vetor que seja uma combinação dessas duas direções, de forma que ele divida o ângulo entre elas igualmente. Uma maneira de fazer isso é somar os vetores unitários de e .
Primeiro, vamos normalizar os vetores:
Então, o vetor unitário de é:
E para :
Então, o vetor unitário de é:
Passo 5
A bissetriz será a soma desses vetores unitários:
Vamos somar as componentes:
Passo 6
Agora, podemos escrever a equação paramétrica da bissetriz interna. Como ela passa por e tem direção , a equação fica:
Ou, em forma vetorial:
Passo 7
Agora, precisamos achar onde essa bissetriz cruza o lado . Para isso, vamos encontrar a equação do segmento . As coordenadas de e nos dão a direção do segmento:
A equação paramétrica de é:
Passo 8
Para encontrar o ponto de interseção, igualamos as equações da bissetriz e de :
Vamos resolver esse sistema de equações. Da terceira equação:
Substituindo na primeira equação:
Passo 9
Agora, substituímos na equação da bissetriz para encontrar as coordenadas do ponto de interseção:
Resposta
As equações reduzidas da bissetriz interna do ângulo são: