Os vértices de um triângulo são O(0,0,0), A(3,4,0) e B(1,2,2). Forme as equações reduzidas da bissetriz interna do ângulo A O B e determine sua interseção com o lado A B.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um triângulo com vértices em O(0,0,0), A(3,4,0) e B(1,2,2). A pergunta é para a gente achar as equações reduzidas da bissetriz interna do ângulo A O B e descobrir onde ela cruza o lado AB. Vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço tridimensional e propriedades das bissetrizes de ângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a bissetriz interna de um ângulo. Ela é a reta que divide o ângulo em dois ângulos iguais. No nosso caso, queremos a bissetriz do ângulo formado pelas retas OA e OB no ponto O.

Passo 3

Vamos começar encontrando os vetores correspondentes às retas OA e OB. O vetor OA vai de O(0,0,0) a A(3,4,0), então:
OA = (3, 4, 0)
Já o vetor OB vai de O(0,0,0) a B(1,2,2), então:
OB = (1, 2, 2)

Passo 4

Para achar a bissetriz interna, precisamos encontrar um vetor que seja uma combinação dessas duas direções, de forma que ele divida o ângulo entre elas igualmente. Uma maneira de fazer isso é somar os vetores unitários de OA e OB.
Primeiro, vamos normalizar os vetores:
|OA| = raiz3^2 + 4^2 + 0^2 = 5
Então, o vetor unitário de OA é:
OA = (35, 45, 0)
E para OB:
|OB| = raiz1^2 + 2^2 + 2^2 = raiz9 = 3
Então, o vetor unitário de OB é:
OB = (13, 23, 23)

Passo 5

A bissetriz u será a soma desses vetores unitários:
u = OA + OB = (35 + 13, 45 + 23, 0 + 23)
Vamos somar as componentes:
u = (9 + 515, 12 + 1015, 23) = (1415, 2215, 23)

Passo 6

Agora, podemos escrever a equação paramétrica da bissetriz interna. Como ela passa por O(0,0,0) e tem direção u, a equação fica:
x = 1415t y = 2215t z = 23t
Ou, em forma vetorial:
r(t) = t (1415, 2215, 23)

Passo 7

Agora, precisamos achar onde essa bissetriz cruza o lado AB. Para isso, vamos encontrar a equação do segmento AB. As coordenadas de A(3,4,0) e B(1,2,2) nos dão a direção do segmento:
AB = (1-3, 2-4, 2-0) = (-2, -2, 2)
A equação paramétrica de AB é:
x = 3 - 2s y = 4 - 2s z = 0 + 2s

Passo 8

Para encontrar o ponto de interseção, igualamos as equações da bissetriz e de AB:
1415t = 3 - 2s 2215t = 4 - 2s 23t = 2s
Vamos resolver esse sistema de equações. Da terceira equação:
s = 13t
Substituindo s na primeira equação:
1415t = 3 - 2(13t) 1415t = 3 - 23t 1415t + 23t = 3 1415t + 1015t = 3 2415t = 3 85t = 3 t = 158

Passo 9

Agora, substituímos t = 158 na equação da bissetriz para encontrar as coordenadas do ponto de interseção:
x = 1415 times 158 = 148 = 74 y = 2215 times 158 = 228 = 114 z = 23 times 158 = 3024 = 54

Resposta

As equações reduzidas da bissetriz interna do ângulo A O B são:
x = 1415t y = 2215t z = 23t
O ponto de interseção com o lado AB é (74, 114, 54).

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