Os vértices de um triângulo são
e
. Forme as equações reduzidas da bissetriz interna do ângulo
e determine sua interseção com o lado
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um triângulo com vértices em
,
e
. A pergunta é para a gente achar as equações reduzidas da bissetriz interna do ângulo
e descobrir onde ela cruza o lado
. Vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço tridimensional e propriedades das bissetrizes de ângulos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a bissetriz interna de um ângulo. Ela é a reta que divide o ângulo em dois ângulos iguais. No nosso caso, queremos a bissetriz do ângulo formado pelas retas
e
no ponto
.
Passo 3
Vamos começar encontrando os vetores correspondentes às retas
e
. O vetor
vai de
a
, então:
Já o vetor
vai de
a
, então:
Passo 4
Para achar a bissetriz interna, precisamos encontrar um vetor que seja uma combinação dessas duas direções, de forma que ele divida o ângulo entre elas igualmente. Uma maneira de fazer isso é somar os vetores unitários de
e
.
Primeiro, vamos normalizar os vetores:
Então, o vetor unitário de
é:
E para
:
Então, o vetor unitário de
é:
Passo 5
A bissetriz
será a soma desses vetores unitários:
Vamos somar as componentes:
Passo 6
Agora, podemos escrever a equação paramétrica da bissetriz interna. Como ela passa por
e tem direção
, a equação fica:
Ou, em forma vetorial:
Passo 7
Agora, precisamos achar onde essa bissetriz cruza o lado
. Para isso, vamos encontrar a equação do segmento
. As coordenadas de
e
nos dão a direção do segmento:
A equação paramétrica de
é:
Passo 8
Para encontrar o ponto de interseção, igualamos as equações da bissetriz e de
:
Vamos resolver esse sistema de equações. Da terceira equação:
Substituindo
na primeira equação:
Passo 9
Agora, substituímos
na equação da bissetriz para encontrar as coordenadas do ponto de interseção:
Resposta
As equações reduzidas da bissetriz interna do ângulo
são:
O ponto de interseção com o lado
é
.