Determine as equações da reta definida pelos pontos e com e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para encontrar as equações da reta que passa pelos pontos e , onde é a interseção das retas e . Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre retas no espaço tridimensional e como determinar pontos de interseção entre elas.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as coordenadas do ponto x - 12 = y - 34 = z - 1-2 , que é a interseção das retas x = 1 + 2s, y = 3 + 4s, z = 1 - 2s e x = 2 + t, y = -1 + 2t, z = 4 - 2t . Vamos começar escrevendo as equações das retas de forma paramétrica para facilitar a comparação.
A reta está dada em forma simétrica:
Podemos escrever isso em termos de um parâmetro :
A reta já está dada em forma paramétrica:
Passo 3
Agora, como 1 + 2s = 2 + t (1) é o ponto de interseção das retas 3 + 4s = -1 + 2t (2) e 1 - 2s = 4 - 2t (3) , as coordenadas de devem satisfazer as equações de ambas as retas. Então, igualamos as coordenadas correspondentes:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de 1 + 2s = 2 + t Rightarrow t = 2s - 1 (4) e 3 + 4s = -1 + 2(2s - 1) Rightarrow 3 + 4s = -1 + 4s - 2 . Vamos partir da equação (1):
3 + 4s = 4s - 3
Agora, substituímos 3 = -3 da equação (4) na equação (2):
Isso é impossível, o que significa que não há solução para esse sistema, ou seja, as retas e não se intersectam. Portanto, o ponto não existe, e a reta não pode ser definida com base nesses pontos.
Resposta
As retas e não se intersectam, portanto não existe um ponto comum, e a reta definida pelos pontos e não pode ser determinada.