Determine as equações da reta r definida pelos pontos A(2,-1,4) e B=r1 cap r2 com r1: x-12=y-34=z-1-2 e r2: x & =2+t y & =-1+2 t z & =4-2 t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para encontrar as equações da reta que passa pelos pontos e , onde é a interseção das retas e . Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre retas no espaço tridimensional e como determinar pontos de interseção entre elas.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as coordenadas do ponto x - 12 = y - 34 = z - 1-2 , que é a interseção das retas x = 1 + 2s, y = 3 + 4s, z = 1 - 2s e x = 2 + t, y = -1 + 2t, z = 4 - 2t . Vamos começar escrevendo as equações das retas de forma paramétrica para facilitar a comparação.
A reta está dada em forma simétrica:
Podemos escrever isso em termos de um parâmetro :
A reta já está dada em forma paramétrica:

Passo 3

Agora, como 1 + 2s = 2 + t (1) é o ponto de interseção das retas 3 + 4s = -1 + 2t (2) e 1 - 2s = 4 - 2t (3) , as coordenadas de devem satisfazer as equações de ambas as retas. Então, igualamos as coordenadas correspondentes:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de 1 + 2s = 2 + t Rightarrow t = 2s - 1 (4) e 3 + 4s = -1 + 2(2s - 1) Rightarrow 3 + 4s = -1 + 4s - 2 . Vamos partir da equação (1):
3 + 4s = 4s - 3
Agora, substituímos 3 = -3 da equação (4) na equação (2):
Isso é impossível, o que significa que não há solução para esse sistema, ou seja, as retas e não se intersectam. Portanto, o ponto não existe, e a reta não pode ser definida com base nesses pontos.

Resposta

As retas e não se intersectam, portanto não existe um ponto comum, e a reta definida pelos pontos e não pode ser determinada.

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Os vértices de um triângulo são O(0,0,0), A(3,4,0) e B(1,2,2). Forme as equações reduzidas da bissetriz interna do ângulo A O B e determine sua interseção com o lado A B.
Dados os Subespaços,
U=p(t) in P^2(R) / p^prime(t)=0
W=p(t) in P^2(R) / p(0)=p(1)=0
de V=P^2(R). Determine
c) uma base e dimensão de U cap W.
Seja V=M2 times 2(R). Faça o que se pede:
c) Determine os geradores de S1 e de S2 e verifique se é possível [S1+S2]= [V]
Encontre a solução geral no conjunto R^3 para a equação linear 3 x1-5 x2+4 x3= 7.