Dados os subespaços U e W de um espaço vetorial V, dizemos que W é suplementar de U (ou que U é suplementar de W ) se V=U oplus W.
(a) Determine um espaço suplementar para o seguinte subespaço do R^3:(x, y, z) ; x- y=0.
(b) Faça o mesmo para o subespaço (x, y, z, t) in R^4 ; x-y=z-t=0 do R^4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A questão fala sobre subespaços suplementares. Basicamente, se temos dois subespaços e de um espaço vetorial , eles são suplementares se todo vetor de pode ser escrito de forma única como a soma de um vetor de e outro de , ou seja, .
Neste exercício, temos duas partes:
a) Encontrar um espaço suplementar para o subespaço em .
b) Fazer o mesmo para o subespaço em .
Vamos precisar entender como encontrar subespaços que somados dão todo o espaço, e para isso, vamos identificar vetores que complementam os dados.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a). Primeiro, vamos entender o subespaço dado: . Isso significa que . Então, podemos reescrever os vetores desse subespaço como .
Para encontrar um espaço suplementar, precisamos de outro subespaço tal que todo vetor em possa ser escrito como a soma de um vetor de e um vetor de , sem sobreposição além do zero.

Passo 3

Vamos definir o subespaço W = (x, -x, 0) ; x in R de forma que ele “complete” . Observando que já controla as componentes e com , uma boa escolha para é controlar a diferença entre e , ou seja, algo que não afete essa condição.
Uma opção simples é considerar os vetores onde e . Assim, definimos:

Passo 4

Agora, vamos verificar se u + w = (y + x, y - x, z) e y + x = a y - x = b z = c são suplementares. Tomemos um vetor qualquer y = a + b2, x = a - b2, z = c . Queremos expressá-lo como a soma de um vetor de e um vetor de .
Seja e . Então:
Queremos que isso seja igual a . Então:
Resolvendo:
Isso mostra que conseguimos achar e para qualquer , e a decomposição é única.

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b). O subespaço dado é . Isso implica que e . Então, os vetores desse subespaço podem ser escritos como .
Queremos encontrar um subespaço suplementar tal que .

Passo 6

Para complementar W = (a, -a, b, -b) ; a, b in R , precisamos de um subespaço que controle as diferenças e . Uma maneira de fazer isso é definir de forma que ele capture essas diferenças independentemente.
Podemos definir:

Passo 7

Vamos verificar se u + w = (y + a', y - a', t + b', t - b') e y + a' = a y - a' = b t + b' = c t - b' = d são suplementares. Tomemos um vetor qualquer y = a + b2, a' = a - b2, t = c + d2, b' = c - d2 . Queremos expressá-lo como a soma de um vetor de e um vetor de .
Seja e . Então:
Queremos que isso seja igual a . Então:
Resolvendo:
Isso confirma que para qualquer vetor em , conseguimos encontrar e que satisfazem a soma, e a decomposição é única.

Resposta

a) Um espaço suplementar é .
b) Um espaço suplementar é .

Exercícios relacionados