Determine os subespaços de R^3 gerados pelos vetores:
(a) (2,1,-3)
(b) (-1,3,2),(2,-2,1);
© (1,0,1),(0,1,1),(-1,1,0);
(d) (1,2,-1),(-1,1,0),(0,0,2),(-2,1,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre subespaços em . A gente vai precisar entender o que são subespaços vetoriais e como eles são gerados por vetores. Basicamente, um subespaço é um conjunto de vetores que satisfaz certas propriedades, tipo conter o vetor zero, ser fechado por adição e por multiplicação por escalar. Vamos analisar cada item (a), (b), © e (d) separadamente.

Passo 2

Parte (a): Vetor

Primeiro, temos um único vetor. Quando só tem um vetor, o subespaço gerado por ele é essencialmente todas as combinações desse vetor com qualquer múltiplo dele. Isso forma uma linha que passa pela origem no espaço .

Passo 3

Parte (b): Vetores e

Aqui, temos dois vetores. Para descobrir o subespaço gerado por eles, precisamos ver se são lineares independentes. Se forem, eles formam um plano no espaço. Vamos montar uma matriz com esses vetores e verificar o determinante ou se um é múltiplo do outro.
Ao analisar os vetores, percebemos que não existe um escalar que multiplique para chegar em . Então, eles são linearmente independentes e geram um plano.

Passo 4

Parte ©: Vetores 1 & 0 & -1 0 & 1 & 1 1 & 1 & 0 , 1 cdot (1 cdot 0 - 1 cdot 1) - 0 cdot (0 cdot 0 - 1 cdot 1) + (-1) cdot (0 cdot1 -1 cdot1) = 1(-1) + 0 + (-1)(-1) = -1 + 1 = 0 e

Agora temos três vetores. Precisamos verificar se eles são linearmente independentes. Montando a matriz:
Calculando o determinante:
Como o determinante é zero, os vetores são linearmente dependentes e, portanto, o subespaço gerado por eles é um plano.

Passo 5

Parte (d): Vetores , , e

Aqui temos quatro vetores, mas em , no máximo três vetores podem ser linearmente independentes. Vamos verificar quais desses vetores são independentes.
Observando, vemos que é igual a , então é dependente. Já os vetores , e são linearmente independentes (não há combinação linear entre eles que dê zero, além da trivial).
Com três vetores independentes em , eles geram todo o espaço .

Resposta

(a) Linha em ;
(b) Plano em ;
© Plano em ;
(d) Todo o espaço .

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