Primeiro, temos um único vetor. Quando só tem um vetor, o subespaço gerado por ele é essencialmente todas as combinações desse vetor com qualquer múltiplo dele. Isso forma uma linha que passa pela origem no espaço .
Passo 3
Parte (b): Vetores e
Aqui, temos dois vetores. Para descobrir o subespaço gerado por eles, precisamos ver se são lineares independentes. Se forem, eles formam um plano no espaço. Vamos montar uma matriz com esses vetores e verificar o determinante ou se um é múltiplo do outro.
Ao analisar os vetores, percebemos que não existe um escalar que multiplique para chegar em . Então, eles são linearmente independentes e geram um plano.
Agora temos três vetores. Precisamos verificar se eles são linearmente independentes. Montando a matriz:
Calculando o determinante:
Como o determinante é zero, os vetores são linearmente dependentes e, portanto, o subespaço gerado por eles é um plano.
Passo 5
Parte (d): Vetores , , e
Aqui temos quatro vetores, mas em , no máximo três vetores podem ser linearmente independentes. Vamos verificar quais desses vetores são independentes.
Observando, vemos que é igual a , então é dependente. Já os vetores , e são linearmente independentes (não há combinação linear entre eles que dê zero, além da trivial).
Com três vetores independentes em , eles geram todo o espaço .