Seja
o intervalo fechado
. Verifique se são subespaços de
:
(a)
(b)
;
(a)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o espaço
, que é o conjunto de todas as funções contínuas no intervalo fechado
. Queremos verificar se certos subconjuntos
de
são subespaços vetoriais. Para isso, precisamos lembrar que, para
ser um subespaço, ele deve satisfazer três condições:
- Contém o vetor zero: A função que é zero em todo o intervalo deve estar em
. - Fechado sob adição: Se
e estão em , então também deve estar em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se
está em e é um número real, então também deve estar em .
Vamos aplicar isso para os itens (a) e (b).
Parte (a)
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em
. O vetor zero aqui é a função que vale zero para todo
, ou seja,
.
Passo 3
Como
para o vetor zero, ele está em
. Tá, primeira condição satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar se
é fechado sob adição. Ou seja, se
e
estão em
, então
também deve estar em
.
Passo 5
Se
e
, então
. Portanto,
também satisfaz a condição de estar em
.
Passo 6
Por fim, vamos ver se
é fechado sob multiplicação por escalar. Se
está em
e
é um número real, então
. Logo,
também está em
.
Passo 7
Vamos analisar agora o conjunto
. Queremos verificar se esse conjunto é um subespaço de
. Lembrando das três condições que mencionei antes.
Passo 8
Primeiro, checar se o vetor zero está em
. A função zero tem
e
, então
. Portanto, o vetor zero está em
.
Passo 9
Agora, vamos verificar se
é fechado sob adição. Suponha que
e
estão em
, ou seja,
e
. Então,
. Logo,
também está em
.
Passo 10
Por último, vamos ver se
é fechado sob multiplicação por escalar. Se
está em
e
é um número real, então
e
. Como
, temos
, ou seja,
. Portanto,
também está em
.
Resposta
Sim,
é um subespaço de
.