Seja I o intervalo fechado [0,1]. Verifique se são subespaços de C(I) :
(a) W=f in C(I) ; f(0)=0
(b) W=f in C(I) ; f(0)=f(1);

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o espaço C(I), que é o conjunto de todas as funções contínuas no intervalo fechado I = [0,1]. Queremos verificar se certos subconjuntos W de C(I) são subespaços vetoriais. Para isso, precisamos lembrar que, para W ser um subespaço, ele deve satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero: A função que é zero em todo o intervalo deve estar em W.
  2. Fechado sob adição: Se f e g estão em W, então f + g também deve estar em W.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se f está em W e c é um número real, então c cdot f também deve estar em W.
Vamos aplicar isso para os itens (a) e (b).

Parte (a)

W = f in C(I) ; f(0) = 0

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em W. O vetor zero aqui é a função que vale zero para todo x in [0,1], ou seja, f(x) = 0.

Passo 3

Como f(0) = 0 para o vetor zero, ele está em W. Tá, primeira condição satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar se W é fechado sob adição. Ou seja, se f e g estão em W, então (f + g) também deve estar em W.

Passo 5

Se f(0) = 0 e g(0) = 0, então (f + g)(0) = f(0) + g(0) = 0 + 0 = 0. Portanto, f + g também satisfaz a condição de estar em W.

Passo 6

Por fim, vamos ver se W é fechado sob multiplicação por escalar. Se f está em W e c é um número real, então (c cdot f)(0) = c cdot f(0) = c cdot 0 = 0. Logo, c cdot f também está em W.

Passo 7

Vamos analisar agora o conjunto W = f in C(I) ; f(0) = f(1). Queremos verificar se esse conjunto é um subespaço de C(I). Lembrando das três condições que mencionei antes.

Passo 8

Primeiro, checar se o vetor zero está em W. A função zero tem f(0) = 0 e f(1) = 0, então f(0) = f(1). Portanto, o vetor zero está em W.

Passo 9

Agora, vamos verificar se W é fechado sob adição. Suponha que f e g estão em W, ou seja, f(0) = f(1) e g(0) = g(1). Então, (f + g)(0) = f(0) + g(0) = f(1) + g(1) = (f + g)(1). Logo, f + g também está em W.

Passo 10

Por último, vamos ver se W é fechado sob multiplicação por escalar. Se f está em W e c é um número real, então (c cdot f)(0) = c cdot f(0) e (c cdot f)(1) = c cdot f(1). Como f(0) = f(1), temos c cdot f(0) = c cdot f(1), ou seja, (c cdot f)(0) = (c cdot f)(1). Portanto, c cdot f também está em W.

Resposta

Sim, W = f in C(I) ; f(0) = f(1) é um subespaço de C(I).

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