Seja tal que . Calcule o determinante das matrizes a seguir: [llla11+a12 & a11-a12 & a13 a21+a22 & a21-a22 & a23 a31+a32 & a31-a32 & a33]
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz com determinante igual a 3, ou seja, . O exercício pede para calcular o determinante de duas novas matrizes que são obtidas a partir de . Vamos usar conhecimentos de propriedades dos determinantes para resolver isso.
Perceba que na terceira coluna, cada elemento é a soma do elemento original com o correspondente da segunda coluna. Ou seja, a terceira coluna foi obtida adicionando a segunda coluna à terceira.
Passo 3
Uma propriedade importante dos determinantes é que se somarmos uma coluna a outra, o determinante não muda. Formalmente, se det( C1 & C2 & C3 + C2 ) = det(A) , então:
Então, para a primeira matriz, o determinante permanece o mesmo que o da matriz original , que é 3.
Aqui, a primeira coluna é a soma das colunas 1 e 2 da matriz , e a segunda coluna é a diferença entre a coluna 1 e a coluna 2.
Passo 5
Vamos simplificar isso usando propriedades dos determinantes. Sabemos que o determinante é uma função linear em cada coluna. Podemos reescrever as colunas da nova matriz em termos das colunas de C'1 = C1 + C2 C'2 = C1 - C2 C'3 = C3 :
det(B) = det( C1 + C2 & C1 - C2 & C3 )
Então, o determinante da nova matriz é:
Passo 6
Para calcular , podemos usar a propriedade de que . No entanto, uma maneira mais fácil é notar que as colunas e são combinações lineares das colunas originais, o que pode levar a simplificações.
Expandindo o determinante usando a regra de Sarrus ou co-fatores, mas notando que essa matriz pode ser vista como o produto de uma matriz de transformação e a matriz .
Passo 8
Na verdade, a matriz T = 1 & 1 & 0 1 & -1 & 0 0 & 0 & 1 pode ser escrita como o produto de uma matriz de transformação com a matriz , onde: