Seja A=(ai j)3 times 3 tal que det(A)=3. Calcule o determinante das matrizes a seguir:
[llla11 & a12 & a13+a12 a21 & a22 & a23+a22 a31 & a32 & a33+a32]
[llla11+a12 & a11-a12 & a13 a21+a22 & a21-a22 & a23 a31+a32 & a31-a32 & a33]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz com determinante igual a 3, ou seja, . O exercício pede para calcular o determinante de duas novas matrizes que são obtidas a partir de . Vamos usar conhecimentos de propriedades dos determinantes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a primeira matriz:
a11 & a12 & a13 + a12 a21 & a22 & a23 + a22 a31 & a32 & a33 + a32
Perceba que na terceira coluna, cada elemento é a soma do elemento original com o correspondente da segunda coluna. Ou seja, a terceira coluna foi obtida adicionando a segunda coluna à terceira.

Passo 3

Uma propriedade importante dos determinantes é que se somarmos uma coluna a outra, o determinante não muda. Formalmente, se det( C1 & C2 & C3 + C2 ) = det(A) , então:
Então, para a primeira matriz, o determinante permanece o mesmo que o da matriz original , que é 3.

Passo 4

Agora, vamos para a segunda matriz:
a11 + a12 & a11 - a12 & a13 a21 + a22 & a21 - a22 & a23 a31 + a32 & a31 - a32 & a33
Aqui, a primeira coluna é a soma das colunas 1 e 2 da matriz , e a segunda coluna é a diferença entre a coluna 1 e a coluna 2.

Passo 5

Vamos simplificar isso usando propriedades dos determinantes. Sabemos que o determinante é uma função linear em cada coluna. Podemos reescrever as colunas da nova matriz em termos das colunas de C'1 = C1 + C2 C'2 = C1 - C2 C'3 = C3 :
det(B) = det( C1 + C2 & C1 - C2 & C3 )
Então, o determinante da nova matriz é:

Passo 6

Para calcular , podemos usar a propriedade de que . No entanto, uma maneira mais fácil é notar que as colunas e são combinações lineares das colunas originais, o que pode levar a simplificações.

Passo 7

Vamos calcular o determinante diretamente:
det(B) = a11 + a12 & a11 - a12 & a13 a21 + a22 & a21 - a22 & a23 a31 + a32 & a31 - a32 & a33
Expandindo o determinante usando a regra de Sarrus ou co-fatores, mas notando que essa matriz pode ser vista como o produto de uma matriz de transformação e a matriz .

Passo 8

Na verdade, a matriz T = 1 & 1 & 0 1 & -1 & 0 0 & 0 & 1 pode ser escrita como o produto de uma matriz de transformação com a matriz , onde:
Então, e, portanto, .

Passo 9

Vamos calcular o determinante da matriz det(T) = 1 & 1 & 0 1 & -1 & 0 0 & 0 & 1 :
det(T) = 1 cdot (-1) - 1 cdot 1 = -1 - 1 = -2
Como a terceira linha tem apenas um 1 na diagonal e zeros, o determinante é igual ao determinante da submatriz 2x2 no topo:

Passo 10

Agora, sabendo que det(B) = det(T) cdot det(A) = (-2) cdot 3 = -6 e , podemos calcular :

Resposta

O determinante da primeira matriz é e o determinante da segunda matriz é .

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