Verifique se os seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais com as operações usuais do ambiente. Justifique suas respostas: f) W=(x, y, z, w) in R^4 ; x+y=0, w=z;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se o conjunto é um subespaço vetorial do espaço . Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar conferir três coisas: se o conjunto contém o vetor zero, se é fechado sob adição e se é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em . O vetor zero em é . Vamos ver se ele satisfaz as condições de :
  • ✔️
  • ✔️
Como o vetor zero está em , já passamos na primeira parte!

Passo 3

Agora, vamos checar se é fechado sob adição. Isso significa que, se pegarmos dois vetores quaisquer em e somarmos, o resultado também deve estar em .
Vamos chamar dois vetores em de e . Sabemos que:
  • e
  • e
Somando e :
Vamos ver se as condições são satisfeitas:
  • ✔️
  • ✔️
Portanto, a soma de dois vetores em também está em .

Passo 4

Por fim, vamos verificar se é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que, se multiplicarmos qualquer vetor em por um escalar qualquer , o resultado ainda deve estar em .
Pegando um vetor em , sabemos que:
Multiplicando por :
Vamos verificar as condições:
  • ✔️
  • continua válido ✔️
Assim, o vetor resultante também está em .

Resposta

Sim, o conjunto é um subespaço vetorial de porque contém o vetor zero, e é fechado sob adição e multiplicação por escalar.

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