Verifique se os seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais com as operações usuais do ambiente. Justifique suas respostas: f)
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial do espaço
. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar conferir três coisas: se o conjunto contém o vetor zero, se é fechado sob adição e se é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
. Vamos ver se ele satisfaz as condições de
:
-
✔️ -
✔️
Como o vetor zero está em
, já passamos na primeira parte!
Passo 3
Agora, vamos checar se
é fechado sob adição. Isso significa que, se pegarmos dois vetores quaisquer em
e somarmos, o resultado também deve estar em
.
Vamos chamar dois vetores em
de
e
. Sabemos que:
-
e -
e
Somando
e
:
Vamos ver se as condições são satisfeitas:
-
✔️ -
✔️
Portanto, a soma de dois vetores em
também está em
.
Passo 4
Por fim, vamos verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que, se multiplicarmos qualquer vetor em
por um escalar qualquer
, o resultado ainda deve estar em
.
Pegando um vetor
em
, sabemos que:
Multiplicando
por
:
Vamos verificar as condições:
-
✔️ -
continua válido ✔️
Assim, o vetor resultante também está em
.
Resposta
Sim, o conjunto
é um subespaço vetorial de
porque contém o vetor zero, e é fechado sob adição e multiplicação por escalar.