Sejam \vec{u}=(1,2,3) e \vec{v}=(-2,3,0). Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas:
(a) |\vec{u} \times \vec{v}|=|\langle\vec{u}, \vec{v}\rangle|.

Passo 1

Vamos resolver a questão que pede para verificar se a norma do produto vetorial de e é igual ao valor absoluto do produto interno desses mesmos vetores. Estamos trabalhando com vetores no espaço tridimensional, e vamos precisar entender como calcular o produto vetorial, o produto interno e as normas desses vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial a times b = ( a2 b3 - a3 b2, a3 b1 - a1 b3, a1 b2 - a2 b1 ) . O produto vetorial de dois vetores u times v = (2 cdot 0 - 3 cdot 3, 3 cdot (-2) - 1 cdot 0, 1 cdot 3 - 2 cdot (-2)) = (0 - 9, -6 - 0, 3 + 4) = (-9, -6, 7) e é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores e :

Passo 3

Agora, vamos calcular a norma do produto vetorial |w| = raizw1^2 + w2^2 + w3^2 . A norma de um vetor |u times v| = raiz(-9)^2 + (-6)^2 + 7^2 = raiz81 + 36 + 49 = raiz166 approx 12,88 é dada por:
Aplicando isso ao vetor :

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto interno lang<= a, b rang<= = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 . O produto interno de dois vetores lang<= u, v rang<= = (1)(-2) + (2)(3) + (3)(0) = -2 + 6 + 0 = 4 e é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores e :

Passo 5

Vamos calcular o valor absoluto do produto interno:
|lang<= u, v rang<=| = |4| = 4

Passo 6

Agora, vamos comparar os valores obtidos:
|u times v| approx 12,88 e |lang<= u, v rang<=| = 4
Como , a afirmação não é verdadeira.

Resposta

Falsa. A norma do produto vetorial é aproximadamente 12,88, diferente do valor absoluto do produto interno, que é 4.

Exercícios relacionados

Sejam A=(1,3,-1), B=(1,0,-1) e C=(2,0,-1).
(a) Os vetores \overrightarrow{A B} e \overrightarrow{A C} são ortogonais?
Mostre que os polinómios
p1(t)=1+2 t-t^2, p2(t)=3+t^2, p3(t)=5+4 t-t^2, p4(t)=-2+2 t-t^2
>=ram P2.
Dados os subespaços U=(x, y, z) in R^3 ; x+y=0 e V=(x, y, z) in R^3 ; x=0. Determine U cap V e seu conjunto de geradores.
Determine os valores reais de k, tais que o sistema linear dado tenha: (i) uma única solução; (ii) infinitas soluções; (iii) nenhuma solução:
ccc -2 x & -3 y-k z & =-3 x+y-z & =1 x & +k y & +3 z=2