Dados os subespaços vetoriais W1=(x, y, z) in R^3 mid x+y+z=0, W2=(x, y, z) in R^3 mid x=z e W3=(0,0, z) in R^3 mid z in R, mostre que:
a) R^3=W1+W2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três subespaços vetoriais no espaço tridimensional R^3:
  • W1 = (x, y, z) in R^3 mid x + y + z = 0
  • W2 = (x, y, z) in R^3 mid x = z
O exercício pede para mostrar que qualquer vetor em R^3 pode ser escrito como a soma de um vetor de W1 e um vetor de W2, ou seja, R^3 = W1 + W2. Vamos precisar conhecer um pouco sobre subespaços vetoriais e como somá-los.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que R^3 = W1 + W2. Isso quer dizer que para todo vetor (a, b, c) in R^3, existe pelo menos um vetor em W1 e um vetor em W2 cuja soma dá (a, b, c). Vamos chamar esses vetores de (x1, y1, z1) in W1 e (x2, y2, z2) in W2.

Passo 3

Sabemos que:
  • Para (x1, y1, z1) in W1, a condição é x1 + y1 + z1 = 0.
  • Para (x2, y2, z2) in W2, a condição é x2 = z2.
Queremos que (x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (a, b, c). Vamos escrever isso componente por componente:
  • x1 + x2 = a
  • y1 + y2 = b
  • z1 + z2 = c

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar expressões para x1, y1, z1, x2, y2, z2 que satisfaçam as condições dos subespaços.
Começando pela condição de W2: x2 = z2. Podemos escolher um valor para x2, e então z2 será igual a ele. Vamos chamar x2 = t, onde t é um número real qualquer. Assim, z2 = t.

Passo 5

Com isso, podemos expressar x1 e z1 em termos de t:
  • De x1 + x2 = a, temos x1 = a - t
  • De z1 + z2 = c, temos z1 = c - t
Agora, precisamos encontrar y1 e y2 de modo que y1 + y2 = b. Podemos escolher y2 como uma variável livre, digamos y2 = s, então y1 = b - s.

Passo 6

Lembrando a condição de W1: x1 + y1 + z1 = 0, substituímos as expressões que encontramos:
(a - t) + (b - s) + (c - t) = 0
Simplificando:
a + b + c - 2t - s = 0
Podemos resolver para s:
s = a + b + c - 2t

Passo 7

Agora, podemos expressar todos os componentes:
  • x1 = a - t
  • y1 = b - s = b - (a + b + c - 2t) = -a - c + 2t
  • z1 = c - t
  • x2 = t
  • y2 = s = a + b + c - 2t
  • z2 = t

Passo 8

Com isso, escolhemos t livremente (pode ser qualquer número real), o que nos permite construir um vetor em W1 e um em W2 cuja soma é qualquer vetor (a, b, c) in R^3. Isso mostra que R^3 é a soma dos subespaços W1 e W2.

Resposta

Portanto, R^3 = W1 + W2.

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