Dados os subespaços vetoriais , e , mostre que:
a) .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem três subespaços vetoriais no espaço tridimensional :
O exercício pede para mostrar que qualquer vetor em pode ser escrito como a soma de um vetor de e um vetor de , ou seja, . Vamos precisar conhecer um pouco sobre subespaços vetoriais e como somá-los.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que . Isso quer dizer que para todo vetor , existe pelo menos um vetor em e um vetor em cuja soma dá . Vamos chamar esses vetores de e .
Passo 3
Sabemos que:
Para , a condição é .
Para , a condição é .
Queremos que . Vamos escrever isso componente por componente:
Passo 4
Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar expressões para que satisfaçam as condições dos subespaços.
Começando pela condição de : . Podemos escolher um valor para , e então será igual a ele. Vamos chamar , onde é um número real qualquer. Assim, .
Passo 5
Com isso, podemos expressar e em termos de :
De , temos
De , temos
Agora, precisamos encontrar e de modo que . Podemos escolher como uma variável livre, digamos , então .
Passo 6
Lembrando a condição de : , substituímos as expressões que encontramos:
Simplificando:
Podemos resolver para :
Passo 7
Agora, podemos expressar todos os componentes:
Passo 8
Com isso, escolhemos livremente (pode ser qualquer número real), o que nos permite construir um vetor em e um em cuja soma é qualquer vetor . Isso mostra que é a soma dos subespaços e .