Dados os subespaços vetoriais
,
e
, mostre que:
a)
.
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem três subespaços vetoriais no espaço tridimensional
:
O exercício pede para mostrar que qualquer vetor em
pode ser escrito como a soma de um vetor de
e um vetor de
, ou seja,
. Vamos precisar conhecer um pouco sobre subespaços vetoriais e como somá-los.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que
. Isso quer dizer que para todo vetor
, existe pelo menos um vetor em
e um vetor em
cuja soma dá
. Vamos chamar esses vetores de
e
.
Passo 3
Sabemos que:
- Para
, a condição é . - Para
, a condição é .
Queremos que
. Vamos escrever isso componente por componente:
Passo 4
Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar expressões para
que satisfaçam as condições dos subespaços.
Começando pela condição de
:
. Podemos escolher um valor para
, e então
será igual a ele. Vamos chamar
, onde
é um número real qualquer. Assim,
.
Passo 5
Com isso, podemos expressar
e
em termos de
:
- De
, temos - De
, temos
Agora, precisamos encontrar
e
de modo que
. Podemos escolher
como uma variável livre, digamos
, então
.
Passo 6
Lembrando a condição de
:
, substituímos as expressões que encontramos:
Simplificando:
Podemos resolver para
:
Passo 7
Agora, podemos expressar todos os componentes:
Passo 8
Com isso, escolhemos
livremente (pode ser qualquer número real), o que nos permite construir um vetor em
e um em
cuja soma é qualquer vetor
. Isso mostra que
é a soma dos subespaços
e
.
Resposta
Portanto,
.