Sejam
e
.
a) Determine
.
a) Determine
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois subespaços vetoriais no espaço tridimensional, chamados
e
. Eles são gerados pelos vetores dados:
Nosso objetivo é determinar a soma desses dois subespaços, ou seja,
. Para isso, vamos precisar entender como combinar os vetores geradores de cada subespaço para formar todos os vetores possíveis na soma.
Passo 2
A soma de dois subespaços
consiste em todos os vetores que podem ser obtidos somando um vetor de
com um vetor de
. Matemáticamente, isso é expresso como:
Isso significa que precisamos considerar combinações lineares dos vetores geradores de
e
.
Passo 3
Vamos listar os vetores geradores de cada subespaço:
- Para
, os vetores são e . - Para
, os vetores são e .
Para formar a soma
, vamos combinar esses vetores.
Passo 4
A soma dos subespaços
é gerada pelos vetores geradores de
e
juntos. Ou seja, precisamos considerar todos os vetores:
Portanto, a soma
é o subespaço gerado por esses quatro vetores.
Passo 5
Agora, vamos verificar se alguns desses vetores são combinações lineares dos outros, para simplificar a base da soma. Se algum vetor puder ser escrito como combinação dos demais, ele pode ser removido da lista dos geradores.
Analisando os vetores:
-
e não são combinações lineares dos vetores de .
Portanto, todos os quatro vetores são necessários para gerar
.
Passo 6
Com os quatro vetores gerando a soma, podemos expressar
como:
Isso significa que qualquer vetor em
pode ser escrito como uma combinação linear desses quatro vetores.