Sejam W1=>=r((1,0,-1),(1,2,1)) e W2=>=r((1,1,1),(1,0,0)).
a) Determine W1+W2.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois subespaços vetoriais no espaço tridimensional, chamados e . Eles são gerados pelos vetores dados:
Nosso objetivo é determinar a soma desses dois subespaços, ou seja, . Para isso, vamos precisar entender como combinar os vetores geradores de cada subespaço para formar todos os vetores possíveis na soma.

Passo 2

A soma de dois subespaços W1 + W2 = w1 + w2 mid w1 in W1, w2 in W2 consiste em todos os vetores que podem ser obtidos somando um vetor de com um vetor de . Matemáticamente, isso é expresso como:
Isso significa que precisamos considerar combinações lineares dos vetores geradores de e .

Passo 3

Vamos listar os vetores geradores de cada subespaço:
  • Para , os vetores são e .
  • Para , os vetores são e .
Para formar a soma , vamos combinar esses vetores.

Passo 4

A soma dos subespaços v1, v2, u1, u2 é gerada pelos vetores geradores de e juntos. Ou seja, precisamos considerar todos os vetores:
Portanto, a soma é o subespaço gerado por esses quatro vetores.

Passo 5

Agora, vamos verificar se alguns desses vetores são combinações lineares dos outros, para simplificar a base da soma. Se algum vetor puder ser escrito como combinação dos demais, ele pode ser removido da lista dos geradores.
Analisando os vetores:
  • e não são combinações lineares dos vetores de .
Portanto, todos os quatro vetores são necessários para gerar .

Passo 6

Com os quatro vetores gerando a soma, podemos expressar W1 + W2 = >=r ( (1, 0, -1), (1, 2, 1), (1, 1, 1), (1, 0, 0) ) como:
Isso significa que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear desses quatro vetores.

Resposta

W1 + W2 = >=r( (1, 0, -1),, (1, 2, 1),, (1, 1, 1),, (1, 0, 0) )

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