Sejam W1=>=r((1,0,-1),(1,2,1)) e W2=>=r((1,1,1),(1,0,0)).
a) Determine W1+W2.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois subespaços vetoriais no espaço tridimensional, chamados e . Eles são gerados pelos vetores dados:
Nosso objetivo é determinar a soma desses dois subespaços, ou seja, . Para isso, vamos precisar entender como combinar os vetores geradores de cada subespaço para formar todos os vetores possíveis na soma.

Passo 2

A soma de dois subespaços W1 + W2 = w1 + w2 mid w1 in W1, w2 in W2 consiste em todos os vetores que podem ser obtidos somando um vetor de com um vetor de . Matemáticamente, isso é expresso como:
Isso significa que precisamos considerar combinações lineares dos vetores geradores de e .

Passo 3

Vamos listar os vetores geradores de cada subespaço:
  • Para , os vetores são e .
  • Para , os vetores são e .
Para formar a soma , vamos combinar esses vetores.

Passo 4

A soma dos subespaços v1, v2, u1, u2 é gerada pelos vetores geradores de e juntos. Ou seja, precisamos considerar todos os vetores:
Portanto, a soma é o subespaço gerado por esses quatro vetores.

Passo 5

Agora, vamos verificar se alguns desses vetores são combinações lineares dos outros, para simplificar a base da soma. Se algum vetor puder ser escrito como combinação dos demais, ele pode ser removido da lista dos geradores.
Analisando os vetores:
  • e não são combinações lineares dos vetores de .
Portanto, todos os quatro vetores são necessários para gerar .

Passo 6

Com os quatro vetores gerando a soma, podemos expressar W1 + W2 = >=r ( (1, 0, -1), (1, 2, 1), (1, 1, 1), (1, 0, 0) ) como:
Isso significa que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear desses quatro vetores.

Resposta

W1 + W2 = >=r( (1, 0, -1),, (1, 2, 1),, (1, 1, 1),, (1, 0, 0) )

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Considere as mat ries: A=[cc3 & 0 -1 & 2 1 & 1], B=[cc4 & -1 0 & 2], C-[lll1 & 4 & 2 3 & 1 & 5],
D=[c 1 -1 2 ] e E=[ccc 6 & 1 & 3 -1 & 1 & 2 4 & 1 & 3 ]
Cakuk guando posivel, as soguintes matrizes:
(e) B^prime(C cdot C^prime-A^prime cdot A)
Dados os subespaços vetoriais W1=(x, y, z) in R^3 mid x+y+z=0, W2=(x, y, z) in R^3 mid x=z e W3=(0,0, z) in R^3 mid z in R, mostre que:
a) R^3=W1+W2.
x1+2 x2+3 x3=0
-5 x2+2 x3=0
x2+x3+x4 =0
Mostre que os seguintes conjuntos são espaços vetoriais
M2 times 2(R) com as operações de soma e multiplicação definidas por
[ll a1 & a2 a3 & a4 ]+[ll b1 & b2 b3 & b4 ]=[ll a1+b1 & a2+b2 a3+b3 & a4+b4 ] e x[ll a1 & a2 a3 & a4 ]=[ll x a1 & x a2 x a3 & x a4 ], x in R