Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois subespaços vetoriais no espaço tridimensional, chamados e . Eles são gerados pelos vetores dados:
Nosso objetivo é determinar a soma desses dois subespaços, ou seja, . Para isso, vamos precisar entender como combinar os vetores geradores de cada subespaço para formar todos os vetores possíveis na soma.
Passo 2
A soma de dois subespaços consiste em todos os vetores que podem ser obtidos somando um vetor de com um vetor de . Matemáticamente, isso é expresso como:
Isso significa que precisamos considerar combinações lineares dos vetores geradores de e .
Passo 3
Vamos listar os vetores geradores de cada subespaço:
Para , os vetores são e .
Para , os vetores são e .
Para formar a soma , vamos combinar esses vetores.
Passo 4
A soma dos subespaços é gerada pelos vetores geradores de e juntos. Ou seja, precisamos considerar todos os vetores:
Portanto, a soma é o subespaço gerado por esses quatro vetores.
Passo 5
Agora, vamos verificar se alguns desses vetores são combinações lineares dos outros, para simplificar a base da soma. Se algum vetor puder ser escrito como combinação dos demais, ele pode ser removido da lista dos geradores.
Analisando os vetores:
e não são combinações lineares dos vetores de .
Portanto, todos os quatro vetores são necessários para gerar .
Passo 6
Com os quatro vetores gerando a soma, podemos expressar como:
Isso significa que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear desses quatro vetores.