Dados T(x, y)=(-5 x+4 y, 7 x+5 y), alpha=(-6,4),(0,-6), beta=(4,5),(1,-9), encontre a matriz [T]B^a.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma transformação linear e duas bases: para o espaço de partida e para o espaço de chegada. Nosso objetivo é encontrar a matriz representativa dessa transformação, denotada por .

Passo 2

Primeiro, precisamos aplicar a transformação em cada um dos vetores da base . Ou seja, vamos calcular e .

Passo 3

Vamos calcular T(-6, 4) = (-5*(-6) + 4*4, , 7*(-6) + 5*4) = (30 + 16, , -42 + 20) = (46, -22) :

Passo 4

Agora, vamos calcular T(0, -6) = (-5*0 + 4*(-6), , 7*0 + 5*(-6)) = (0 - 24, , 0 - 30) = (-24, -30) :

Passo 5

Agora temos as imagens dos vetores de T(-6, 4) = (46, -22) e T(0, -6) = (-24, -30) sob a transformação :
Precisamos expressar esses vetores em termos da base .

Passo 6

Vamos encontrar as coordenadas de 46 = 4a + 1b -22 = 5a - 9b na base . Ou seja, precisamos encontrar escalares e tais que:

Passo 7

Resolvendo o sistema de equações:
4a + b = 46 5a - 9b = -22
Multiplicamos a primeira equação por 9 para eliminar 36a + 9b = 414 5a - 9b = -22 :
41a = 392 Rightarrow a = 39241 = 9.56
Somando as equações:
4*9.56 + b = 46 Rightarrow 38.24 + b = 46 Rightarrow b = 7.76
Substituindo na primeira equação:
Então, as coordenadas de na base são aproximadamente .

Passo 8

Agora, vamos encontrar as coordenadas de -24 = 4c + 1d -30 = 5c - 9d na base . Precisamos encontrar escalares e tais que:

Passo 9

Resolvendo o sistema de equações:
4c + d = -24 5c - 9d = -30
Multiplicamos a primeira equação por 9:
36c + 9d = -216 5c - 9d = -30
Somando as equações:
41c = -246 Rightarrow c = -24641 = -6
Substituindo 4*(-6) + d = -24 Rightarrow -24 + d = -24 Rightarrow d = 0 na primeira equação:
Então, as coordenadas de na base são .

Passo 10

Agora que temos as coordenadas das imagens dos vetores de [T]beta^alpha = 9.56 & -6 7.76 & 0 na base , podemos construir a matriz . Cada coluna dessa matriz corresponde às coordenadas dos vetores nas bases .
Assim, a matriz é:

Resposta

A matriz representativa da transformação [T]beta^alpha = 9.56 & -6 7.76 & 0 na base em relação à base é:

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