Dados
, encontre a matriz
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma transformação linear
e duas bases:
para o espaço de partida e
para o espaço de chegada. Nosso objetivo é encontrar a matriz representativa dessa transformação, denotada por
.
Passo 2
Primeiro, precisamos aplicar a transformação
em cada um dos vetores da base
. Ou seja, vamos calcular
e
.
Passo 3
Vamos calcular
:
Passo 4
Agora, vamos calcular
:
Passo 5
Agora temos as imagens dos vetores de
sob a transformação
:
Precisamos expressar esses vetores em termos da base
.
Passo 6
Vamos encontrar as coordenadas de
na base
. Ou seja, precisamos encontrar escalares
e
tais que:
Passo 7
Resolvendo o sistema de equações:
Multiplicamos a primeira equação por 9 para eliminar
:
Somando as equações:
Substituindo
na primeira equação:
Então, as coordenadas de
na base
são aproximadamente
.
Passo 8
Agora, vamos encontrar as coordenadas de
na base
. Precisamos encontrar escalares
e
tais que:
Passo 9
Resolvendo o sistema de equações:
Multiplicamos a primeira equação por 9:
Somando as equações:
Substituindo
na primeira equação:
Então, as coordenadas de
na base
são
.
Passo 10
Agora que temos as coordenadas das imagens dos vetores de
na base
, podemos construir a matriz
. Cada coluna dessa matriz corresponde às coordenadas dos vetores
nas bases
.
Assim, a matriz
é:
Resposta
A matriz representativa da transformação
na base
em relação à base
é: