Dados [T]beta^alpha=[ll1 & 9 4 & 3],[(x, y)]a=[c6 x-y 7 x+9 y] e beta=(-6,-1),(5,-6), calcule [T(x, y)]beta e T(x, y).

Passo 1

Então, a gente tem uma transformação linear representada pela matriz [T]beta^alpha = 1 & 9 4 & 3. Além disso, temos as coordenadas de um vetor (x, y) na base a dadas por [(x, y)]a = 6x - y 7x + 9y. A base beta é formada pelos vetores (-6, -1) e (5, -6). Nosso objetivo é calcular [T(x, y)]beta, que são as coordenadas da imagem do vetor (x, y) na base beta, e também encontrar a transformação T(x, y) em termos de (x, y).

Passo 2

Primeiro, vamos entender que [T]beta^alpha é a matriz que representa a transformação T de uma base alpha para uma base beta. Para encontrar [T(x, y)]beta, precisamos multiplicar essa matriz pelas coordenadas de (x, y) na base a, que são [x]a = 6x - y 7x + 9y.

Passo 3

Vamos fazer a multiplicação da matriz [T]beta^alpha pelas coordenadas [x]a:
[T(x, y)]beta = [T]beta^alpha cdot [x]a = 1 & 9 4 & 3 cdot 6x - y 7x + 9y

Passo 4

Realizando a multiplicação:
1 & 9 4 & 3 cdot 6x - y 7x + 9y = 1*(6x - y) + 9*(7x + 9y) 4*(6x - y) + 3*(7x + 9y)
Vamos calcular cada componente:
Para a primeira linha:
1*(6x - y) + 9*(7x + 9y) = 6x - y + 63x + 81y = 69x + 80y
Para a segunda linha:
4*(6x - y) + 3*(7x + 9y) = 24x - 4y + 21x + 27y = 45x + 23y

Passo 5

Agora, temos [T(x, y)]beta = 69x + 80y 45x + 23y. Isso representa as coordenadas da imagem de (x, y) na base beta.

Passo 6

Para encontrar T(x, y) em termos de (x, y), precisamos expressar a transformação linear em forma de combinação linear dos vetores da base beta. A base beta é formada por v1 = (-6, -1) e v2 = (5, -6). Então:
T(x, y) = (69x + 80y)(-6, -1) + (45x + 23y)(5, -6)

Passo 7

Vamos calcular cada componente:
Primeiro termo:
(69x + 80y)(-6, -1) = ( -414x - 480y, -69x - 80y )
Segundo termo:
(45x + 23y)(5, -6) = (225x + 115y, -270x - 138y)

Passo 8

Agora, somamos os dois resultados:
T(x, y) = (-414x - 480y + 225x + 115y, -69x - 80y - 270x - 138y)
Simplificando:
T(x, y) = (-189x - 365y, -339x - 218y)

Resposta

[T(x, y)]beta = 69x + 80y 45x + 23y e T(x, y) = (-189x - 365y, -339x - 218y).

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