Obtenha uma transformaçảo linear
tal que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma transformação linear
tal que o núcleo de
(ou seja, os vetores que são mapeados para o zero) seja o conjunto gerado pelos vetores
e
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como núcleo de uma transformação linear, espaço nulo de uma matriz e o teorema da dimensão (rank-nullity). Precisamos montar uma matriz que represente
de modo que seu espaço nulo seja exatamente o que foi dado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear
pode ser representada por uma matriz
de tamanho
. Ou seja,
, onde
.
Passo 3
O núcleo de
é o conjunto de todos os vetores
que satisfazem
. Queremos que esse núcleo seja gerado pelos vetores
e
. Isso significa que as linhas de
precisam ser ortogonais a esses vetores.
Passo 4
Vamos encontrar vetores
que são ortogonais a
e
. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 5
Resolvendo o primeiro equação:
, podemos expressar
em função de
e
:
Passo 6
Substituímos
na segunda equação:
Daí, isolamos
:
Passo 7
Vamos atribuir um valor para
para facilitar. Se
, então:
Então, um vetor ortogonal é
.
Passo 8
Como o núcleo tem dimensão 2, precisamos que a matriz
tenha duas linhas que sejam múltiplos desse vetor. Assim, podemos escolher:
Passo 9
Agora, definimos a transformação linear
usando essa matriz
:
Resposta
A transformação linear desejada é: