Obtenha uma transformaçảo linear T: R^3 R^2 tal que ker(T)=[(1,1,-2),(4,-9,-6)]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma transformação linear tal que o núcleo de (ou seja, os vetores que são mapeados para o zero) seja o conjunto gerado pelos vetores e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como núcleo de uma transformação linear, espaço nulo de uma matriz e o teorema da dimensão (rank-nullity). Precisamos montar uma matriz que represente de modo que seu espaço nulo seja exatamente o que foi dado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz de tamanho . Ou seja, , onde .

Passo 3

O núcleo de é o conjunto de todos os vetores que satisfazem . Queremos que esse núcleo seja gerado pelos vetores e . Isso significa que as linhas de precisam ser ortogonais a esses vetores.

Passo 4

Vamos encontrar vetores a cdot 1 + b cdot 1 + c cdot (-2) = 0 a cdot 4 + b cdot (-9) + c cdot (-6) = 0 que são ortogonais a e . Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 5

Resolvendo o primeiro equação: a = -b + 2c , podemos expressar em função de e :

Passo 6

Substituímos 4(-b + 2c) - 9b - 6c = 0 -4b + 8c - 9b - 6c = 0 -13b + 2c = 0 na segunda equação:
c = 132b
Daí, isolamos :

Passo 7

Vamos atribuir um valor para c = 132 times 2 = 13 a = -2 + 2 times 13 = -2 + 26 = 24 para facilitar. Se , então:
Então, um vetor ortogonal é .

Passo 8

Como o núcleo tem dimensão 2, precisamos que a matriz A = 24 & 2 & 13 24 & 2 & 13 tenha duas linhas que sejam múltiplos desse vetor. Assim, podemos escolher:

Passo 9

Agora, definimos a transformação linear T(x) = Ax = 24 & 2 & 13 24 & 2 & 13 x1 x2 x3 = 24x1 + 2x2 + 13x3 24x1 + 2x2 + 13x3 usando essa matriz :

Resposta

A transformação linear desejada é:
T(x) = 24x1 + 2x2 + 13x3 24x1 + 2x2 + 13x3

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