Vamos resolver um exercício de transformações lineares. Queremos encontrar uma transformação linear que transforma três vetores específicos em outros três vetores dados. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especialmente sobre como representar transformações lineares usando matrizes e resolver sistemas de equações lineares.
Passo 2
Primeiramente, lembrando que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz tal que , onde é um vetor em . Nosso objetivo é encontrar a matriz .
Passo 3
Sabemos que:
Vamos chamar os vetores de entrada de e os vetores de saída de :
Passo 4
Vamos escrever essas equações de forma matricial. Seja . Então:
a & b & c d & e & f g & h & k -2 2 -5 = -1 -4 1
a & b & c d & e & f g & h & k -2 -1 9 = -1 -2 -7
a & b & c d & e & f g & h & k 7 9 9 = 0 -5 -4
Passo 5
Multiplicando as matrizes, obtemos sistemas de equações para cada componente:
Para a primeira transformação:
-2a + 2b -5c = -1 (1)
-2d + 2e -5f = -4 (2)
-2g + 2h -5k = 1 (3)
Para a segunda transformação:
-2a - b + 9c = -1 (4)
-2d - e + 9f = -2 (5)
-2g - h + 9k = -7 (6)
Para a terceira transformação:
7a + 9b + 9c = 0 (7)
7d + 9e + 9f = -5 (8)
7g + 9h + 9k = -4 (9)
Passo 6
Agora, vamos resolver o sistema de equações para encontrar os valores de . Isso pode ser feito utilizando métodos como substituição, eliminação ou matrizes. Para simplificar, podemos resolver cada bloco de equações separadamente para as componentes , e .
Passo 7
Resolvendo o sistema para -2a + 2b -5c = -1 -2a - b + 9c = -1 7a + 9b + 9c = 0 :
a = 1, b = -1, c = 0
Usando métodos de eliminação ou substituição, encontramos:
Passo 8
Resolvendo o sistema para -2d + 2e -5f = -4 -2d - e + 9f = -2 7d + 9e + 9f = -5 :
d = 2, e = 1, f = -1
Após resolver, obtemos:
Passo 9
Resolvendo o sistema para -2g + 2h -5k = 1 -2g - h + 9k = -7 7g + 9h + 9k = -4 :
g = -1, h = 2, k = 0
Resolvendo essas equações, encontramos:
Resposta
A matriz que representa a transformação linear A = 1 & -1 & 0 2 & 1 & -1 -1 & 2 & 0 é: