Dados três operadores representados na sua forma matricial:
b) Calculo autofunções normalizadas e autovalores de cada um destes operadores.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular as autofunções normalizadas e os autovalores de três operadores representados por matrizes. O conteúdo que vamos usar é Álgebra Linear, especificamente sobre autovalores (valores próprios) e autofunções (vetores próprios) de matrizes. Para isso, vamos precisar lembrar como encontrar os autovalores resolvendo o determinante da matriz menos λ vezes a identidade igual a zero e, depois, encontrar os vetores próprios correspondentes a cada autovalor. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos focar no operador
O1 = 0 & 1 1 & 0 , que é representado pela matriz:
Para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação:
onde
é a matriz identidade.
Passo 3
Calculando
O1 - lambda I = - lambda & 1 1 & - lambda :
O determinante dessa matriz é:
Então, a equação característica fica:
Passo 4
Resolvendo
lambda = pm 1 , temos:
Então, os autovalores de
são
e
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar os vetores próprios para cada autovalor. Começando com
(O1 - I) v = 0 :
-1 & 1 1 & -1 v1 v2 = 0 0
$$
- v1 + v2 = 0 v1 - v2 = 0
- v_1 + v_2 = 0 \
v_1 - v_2 = 0
$$
Ou seja, .
Ou seja,
Passo 6
Escolhemos
v1 = 1 1 , então
|v1| = raiz1^2 + 1^2 = raiz2 . Assim, o vetor próprio antes da normalização é:
Para normalizar, calculamos a norma:
Então, a autofunção normalizada é:
Passo 7
Fazendo o mesmo para
(O1 + I) v = 0 :
1 & 1 1 & 1 v1 v2 = 0 0
$$
$$
Que nos dá .
Que nos dá
Passo 8
Escolhemos
v2 = 1 -1 , então
|v2| = raiz1^2 + (-1)^2 = raiz2 . O vetor próprio antes da normalização é:
Normalizando:
A autofunção normalizada fica:
Passo 9
Agora, vamos para o operador
O2 = 0 & -i i & 0 :
Seguindo o mesmo procedimento, encontramos os autovalores resolvendo
.
Passo 10
Calculando
O2 - lambda I = - lambda & -i i & - lambda :
O determinante é:
Então, a equação característica é:
Passo 11
Resolvendo
lambda = pm i , temos:
Então, os autovalores de
são
e
.
Passo 12
Para
(O2 - i I) v = 0 :
Isso resulta em
, ou seja,
.
Passo 13
Escolhemos
v1 = 1 -1 , então
|v1| = raiz1^2 + (-1)^2 = raiz2 . O vetor próprio antes da normalização é:
Normalizando:
A autofunção normalizada é:
Passo 14
Para
(O2 + i I) v = 0 :
i & -i i & i v1 v2 = 0 0
$$
$$
Isso dá , ou seja,
.
Isso dá
Passo 15
Escolhemos
v2 = 1 1 , então
|v2| = raiz1^2 + 1^2 = raiz2 . O vetor próprio antes da normalização é:
Normalizando:
A autofunção normalizada fica:
Passo 16
Por fim, vamos para o operador
O3 = 1 & 0 0 & -1 :
Encontramos os autovalores resolvendo
.
Passo 17
Calculando
O3 - lambda I = 1 - lambda & 0 0 & -1 - lambda :
O determinante é:
Então, a equação característica é:
Passo 18
Resolvendo, temos:
Então, os autovalores de
são
e
.
Passo 19
Para
(O3 - I) v = 0 :
0 & 0 0 & -2 v1 v2 = 0 0
$$
$$
Isso nos dá , então
pode ser qualquer valor. Escolhemos
.
Isso nos dá
Passo 20
O vetor próprio antes da normalização é:
Como já está normalizado (
v1^, normalizada = 1 0 ), a autofunção normalizada é:
Passo 21
Para
(O3 + I) v = 0 :
2 & 0 0 & 0 v1 v2 = 0 0
$$
$$
Isso nos dá , então
pode ser qualquer valor. Escolhemos
.
Isso nos dá
Passo 22
O vetor próprio antes da normalização é:
Já está normalizado (
v2^, normalizada = 0 1 ), então a autofunção normalizada é:
Resposta
As autofunções normalizadas e os autovalores de cada operador são:
-
:v1 = 1raiz2 1 1 , v2 = 1raiz2 1 -1 - Autovalores:
ev1 = 1raiz2 1 -1 , v2 = 1raiz2 1 1 v1 = 1 0 , v2 = 0 1 - Autofunções normalizadas:
- Autovalores:
-
:- Autovalores:
e - Autofunções normalizadas:
- Autovalores:
-
:- Autovalores:
e - Autofunções normalizadas:
- Autovalores:
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©
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©
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(i) Autoestados de energia são os únicos estados permitidos.
(ii) Autovalores de energia são as únicas energias permitidas.
As duas estão corretas ? Duas incorretas? So uma correta? Explique
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