Dados três operadores representados na sua forma matricial:
l O1=(ll 0 & 1 1 & 0 ) O2=(cc 0 & -i i & 0 ) O3=(cc 1 & 0 0 & -1 )
b) Calculo autofunções normalizadas e autovalores de cada um destes operadores.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular as autofunções normalizadas e os autovalores de três operadores representados por matrizes. O conteúdo que vamos usar é Álgebra Linear, especificamente sobre autovalores (valores próprios) e autofunções (vetores próprios) de matrizes. Para isso, vamos precisar lembrar como encontrar os autovalores resolvendo o determinante da matriz menos λ vezes a identidade igual a zero e, depois, encontrar os vetores próprios correspondentes a cada autovalor. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos focar no operador O1 = 0 & 1 1 & 0 , que é representado pela matriz:
det(O1 - lambda I) = 0
Para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação:
onde é a matriz identidade.

Passo 3

Calculando O1 - lambda I = - lambda & 1 1 & - lambda :
(-lambda)(-lambda) - (1)(1) = lambda^2 - 1
O determinante dessa matriz é:
lambda^2 - 1 = 0
Então, a equação característica fica:

Passo 4

Resolvendo lambda = pm 1 , temos:
Então, os autovalores de são e .

Passo 5

Agora, vamos encontrar os vetores próprios para cada autovalor. Começando com (O1 - I) v = 0 :
-1 & 1 1 & -1 v1 v2 = 0 0
$$
- v1 + v2 = 0 v1 - v2 = 0

áçõ
  • v_1 + v_2 = 0 \
    v_1 - v_2 = 0
$$
Ou seja, .

Passo 6

Escolhemos v1 = 1 1 , então |v1| = raiz1^2 + 1^2 = raiz2 . Assim, o vetor próprio antes da normalização é:
v1^, normalizada = 1raiz2 1 1
Para normalizar, calculamos a norma:
Então, a autofunção normalizada é:

Passo 7

Fazendo o mesmo para (O1 + I) v = 0 :
1 & 1 1 & 1 v1 v2 = 0 0
$$

$$
Que nos dá .

Passo 8

Escolhemos v2 = 1 -1 , então |v2| = raiz1^2 + (-1)^2 = raiz2 . O vetor próprio antes da normalização é:
v2^, normalizada = 1raiz2 1 -1
Normalizando:
A autofunção normalizada fica:

Passo 9

Agora, vamos para o operador O2 = 0 & -i i & 0 :
Seguindo o mesmo procedimento, encontramos os autovalores resolvendo .

Passo 10

Calculando O2 - lambda I = - lambda & -i i & - lambda :
(-lambda)^2 - (-i)(i) = lambda^2 - (i^2) = lambda^2 +1
O determinante é:
lambda^2 + 1 = 0
Então, a equação característica é:

Passo 11

Resolvendo lambda = pm i , temos:
Então, os autovalores de são e .

Passo 12

Para (O2 - i I) v = 0 :
- i & -i i & - i v1 v2 = 0 0
Isso resulta em , ou seja, .

Passo 13

Escolhemos v1 = 1 -1 , então |v1| = raiz1^2 + (-1)^2 = raiz2 . O vetor próprio antes da normalização é:
v1^, normalizada = 1raiz2 1 -1
Normalizando:
A autofunção normalizada é:

Passo 14

Para (O2 + i I) v = 0 :
i & -i i & i v1 v2 = 0 0
$$

$$
Isso dá , ou seja, .

Passo 15

Escolhemos v2 = 1 1 , então |v2| = raiz1^2 + 1^2 = raiz2 . O vetor próprio antes da normalização é:
v2^, normalizada = 1raiz2 1 1
Normalizando:
A autofunção normalizada fica:

Passo 16

Por fim, vamos para o operador O3 = 1 & 0 0 & -1 :
Encontramos os autovalores resolvendo .

Passo 17

Calculando O3 - lambda I = 1 - lambda & 0 0 & -1 - lambda :
(1 - lambda)(-1 - lambda) = - (1 - lambda)(1 + lambda) = - (1 - lambda^2)
O determinante é:
1 - lambda^2 = 0 Rightarrow lambda^2 = 1
Então, a equação característica é:

Passo 18

Resolvendo, temos:
lambda = pm 1
Então, os autovalores de são e .

Passo 19

Para (O3 - I) v = 0 :
0 & 0 0 & -2 v1 v2 = 0 0
$$

$$
Isso nos dá , então pode ser qualquer valor. Escolhemos .

Passo 20

O vetor próprio antes da normalização é:
v1 = 1 0
Como já está normalizado ( v1^, normalizada = 1 0 ), a autofunção normalizada é:

Passo 21

Para (O3 + I) v = 0 :
2 & 0 0 & 0 v1 v2 = 0 0
$$

$$
Isso nos dá , então pode ser qualquer valor. Escolhemos .

Passo 22

O vetor próprio antes da normalização é:
v2 = 0 1
Já está normalizado ( v2^, normalizada = 0 1 ), então a autofunção normalizada é:

Resposta

As autofunções normalizadas e os autovalores de cada operador são:
  • v1 = 1raiz2 1 1 , v2 = 1raiz2 1 -1 :
    • Autovalores: v1 = 1raiz2 1 -1 , v2 = 1raiz2 1 1 e v1 = 1 0 , v2 = 0 1
    • Autofunções normalizadas:
  • :
    • Autovalores: e
    • Autofunções normalizadas:
  • :
    • Autovalores: e
    • Autofunções normalizadas:

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©
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(ii) Autovalores de energia são as únicas energias permitidas.
As duas estão corretas ? Duas incorretas? So uma correta? Explique
Dados três operadores representados na sua forma matricial:
l O1=(ll 0 & 1 1 & 0 ) O2=(cc 0 & -i i & 0 ) O3=(cc 1 & 0 0 & -1 )
a) Calcule todos os comutadores entre eles. Explique as implicações dos resultados obtidos.