Em t = 0 medimos a energia do elétron. Escreva os possíveis valores para esta energia, e diga qual a probabilidade de medir cada valor.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício onde, no tempo
, medimos a energia de um elétron. A gente precisa descobrir quais são os possíveis valores que essa energia pode assumir e qual a probabilidade de cada um desses valores ser medido. A matéria envolvida aqui é a Mecânica Quântica, especificamente sobre Estados Quânticos e Valores Esperados de Energia. Para resolver isso, vamos precisar entender como os estados quânticos são representados e como calcular as probabilidades associadas a diferentes valores de energia.
Passo 2
Primeiro, na Mecânica Quântica, o estado de um sistema, como um elétron, é descrito por uma função de onda
. Essa função pode ser expressa como uma combinação linear de autofunções de energia, que são soluções da Equação de Schrödinger para o sistema. Essas autofunções têm associadas elas próprias energias, chamadas de autovalores.
Matematicamente, podemos escrever:
onde:
-
é a função de onda do sistema no tempo . -
são as autofunções de energia. -
são os coeficientes complexos que indicam a contribuição de cada autofunção na mistura que forma .
Passo 3
Os possíveis valores de energia que podemos medir são justamente esses autovalores
associados às autofunções
. Ou seja, cada
é um valor possível de energia que o elétron pode ter quando medimos sua energia.
Passo 4
Agora, para encontrar a probabilidade de medir cada valor de energia
, precisamos olhar para os coeficientes
. A probabilidade
de encontrar o elétron com energia
é dada pelo quadrado do módulo de
:
Isso vem do fato de que
representa a densidade de probabilidade total, e cada
representa a fração dessa probabilidade associada à energia
.
Passo 5
Então, resumindo:
- Possíveis valores de energia: São os autovalores
das autofunções do sistema. - Probabilidade de cada valor: Para cada
, a probabilidade , onde é o coeficiente que multiplica na função de onda .
Resposta
Os possíveis valores de energia que podem ser medidos são os autovalores
associados às autofunções
do sistema. A probabilidade de medir cada valor
é dada por
, onde
é o coeficiente correspondente à autofunção
na expressão da função de onda
.
Exercícios relacionados
Mostre que valem as seguintes relações entre operadores:
©
©
Mostre que
é mínimo se u for o estado fundamental (de mais baixa energia) do hamiltoniano H .
Dados três operadores representados na sua forma matricial:
b) Calculo autofunções normalizadas e autovalores de cada um destes operadores.
Considere as seguintes afirmações
(i) Autoestados de energia são os únicos estados permitidos.
(ii) Autovalores de energia são as únicas energias permitidas.
As duas estão corretas ? Duas incorretas? So uma correta? Explique
(i) Autoestados de energia são os únicos estados permitidos.
(ii) Autovalores de energia são as únicas energias permitidas.
As duas estão corretas ? Duas incorretas? So uma correta? Explique