Mostre que valem as seguintes relações entre operadores:
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[f(x), p]=i hbar d f(x)d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que está na área de mecânica quântica, mais especificamente envolvendo operadores. A gente precisa mostrar que a comutação entre uma função de e o operador de momento é igual a vezes a derivada da função em relação a . Para isso, vamos precisar lembrar como os operadores e se comportam e usar algumas propriedades de comutação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o operador de posição age multiplicando pela coordenada , ou seja, . Já o operador de momento é dado por . Esses operadores não comutam, e queremos calcular essa comutação para uma função qualquer .

Passo 3

A comutação entre dois operadores e é definida como . No nosso caso, queremos calcular . Vamos aplicar esses operadores a uma função de onda para ver como fica.

Passo 4

Aplicando f(x) p psi(x) = f(x) (-i hbar d psi(x)dx) e p f(x) psi(x) = -i hbar ddx (f(x) psi(x)) = -i hbar ( f'(x) psi(x) + f(x) d psi(x)dx ) a [f(x), p] psi(x) = i hbar f'(x) psi(x) , temos:
[f(x), p] = i hbar d f(x)dx
Subtraindo as duas expressões:
Isso vale para qualquer , então concluímos que:

Resposta

Portanto, mostramos que .

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