Mostre que valem as seguintes relações entre operadores:
©
[f(x), p]=i hbar d f(x)d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que está na área de mecânica quântica, mais especificamente envolvendo operadores. A gente precisa mostrar que a comutação entre uma função de e o operador de momento é igual a vezes a derivada da função em relação a . Para isso, vamos precisar lembrar como os operadores e se comportam e usar algumas propriedades de comutação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o operador de posição age multiplicando pela coordenada , ou seja, . Já o operador de momento é dado por . Esses operadores não comutam, e queremos calcular essa comutação para uma função qualquer .

Passo 3

A comutação entre dois operadores e é definida como . No nosso caso, queremos calcular . Vamos aplicar esses operadores a uma função de onda para ver como fica.

Passo 4

Aplicando f(x) p psi(x) = f(x) (-i hbar d psi(x)dx) e p f(x) psi(x) = -i hbar ddx (f(x) psi(x)) = -i hbar ( f'(x) psi(x) + f(x) d psi(x)dx ) a [f(x), p] psi(x) = i hbar f'(x) psi(x) , temos:
[f(x), p] = i hbar d f(x)dx
Subtraindo as duas expressões:
Isso vale para qualquer , então concluímos que:

Resposta

Portanto, mostramos que .

Exercícios relacionados

Mostre que é mínimo se u for o estado fundamental (de mais baixa energia) do hamiltoniano H .
Um fio condutor de raio desprezivel conduz uma corrente I e está envolvido por uma casca cilíndrica de raio R também condutora que conduz uma corrente de mesma magnitude I, mas de sentido oposto. Usando a Lei de Ampére, descreva o campo magnético (módulo, direção e sentido) nas regiöes: (a) 0 e r>R, onde r é a distância ao fio.
Em t = 0 medimos a energia do elétron. Escreva os possíveis valores para esta energia, e diga qual a probabilidade de medir cada valor.
Dados três operadores representados na sua forma matricial:
l O1=(ll 0 & 1 1 & 0 ) O2=(cc 0 & -i i & 0 ) O3=(cc 1 & 0 0 & -1 )
b) Calculo autofunções normalizadas e autovalores de cada um destes operadores.