Mostre que valem as seguintes relações entre operadores:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que está na área de mecânica quântica, mais especificamente envolvendo operadores. A gente precisa mostrar que a comutação entre uma função de
e o operador de momento
é igual a
vezes a derivada da função em relação a
. Para isso, vamos precisar lembrar como os operadores
e
se comportam e usar algumas propriedades de comutação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o operador de posição
age multiplicando pela coordenada
, ou seja,
. Já o operador de momento
é dado por
. Esses operadores não comutam, e queremos calcular essa comutação para uma função qualquer
.
Passo 3
A comutação entre dois operadores
e
é definida como
. No nosso caso, queremos calcular
. Vamos aplicar esses operadores a uma função de onda
para ver como fica.
Passo 4
Aplicando
e
a
, temos:
Subtraindo as duas expressões:
Isso vale para qualquer
, então concluímos que:
Resposta
Portanto, mostramos que
.