Mostre o que se pede abaixo
  • (b) Calcule A^n, n in N, onde A=(cc2 & 4 3 & 13)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular A^n, onde A é a matriz 2 & 4 3 & 13 e n é um número natural. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear, especificamente o método de diagonalização de matrizes. Isso nos ajudará a elevar a matriz a qualquer potência de forma mais simples.

Passo 2

O primeiro passo para diagonalizar a matriz A é encontrar seus valores próprios (ou autovalores). Os valores próprios são números que satisfazem a equação det(A - lambda I) = 0, onde I é a matriz identidade e lambda representa os valores próprios.
Vamos calcular:
det(2 & 4 3 & 13 - lambda 1 & 0 0 & 1) = det2 - lambda & 4 3 & 13 - lambda
= (2 - lambda)(13 - lambda) - (4 times 3) = (26 - 15lambda + lambda^2) - 12 = lambda^2 - 15lambda + 14 = 0
Resolvendo a equação quadrática:
lambda^2 - 15lambda + 14 = 0
lambda = 15 pm raiz225 - 562 = 15 pm raiz1692 = 15 pm 132
Então, os valores próprios são lambda1 = 14 e lambda2 = 1.

Passo 3

Agora que temos os valores próprios, vamos encontrar os vetores próprios correspondentes a cada valor próprio. Os vetores próprios são soluções não trivial da equação (A - lambda I)v = 0, onde v é o vetor próprio.
Para lambda1 = 14:
2 - 14 & 4 3 & 13 - 14v = -12 & 4 3 & -1v = 0
Isso nos dá as equações:
-12v1 + 4v2 = 0 Rightarrow 3v1 = v2
Então, podemos escolher v1 = 1, logo v2 = 3. Assim, um vetor próprio para lambda1 = 14 é v1 = 1 3.
Para lambda2 = 1:
2 - 1 & 4 3 & 13 - 1v = 1 & 4 3 & 12v = 0
Isso nos dá as equações:
v1 + 4v2 = 0 Rightarrow v1 = -4v2
Podemos escolher v2 = 1, assim v1 = -4. Portanto, um vetor próprio para lambda2 = 1 é v2 = -4 1.

Passo 4

Com os valores próprios e vetores próprios encontrados, podemos formar a matriz P com os vetores próprios como colunas e a matriz diagonal D com os valores próprios na diagonal:
P = 1 & -4 3 & 1, D = 14 & 0 0 & 1
A matriz A pode ser diagonalizada da seguinte forma:
A = P D P^-1

Passo 5

Agora, para calcular A^n, usamos a propriedade de que, se A = P D P^-1, então:
A^n = P D^n P^-1
Como D é uma matriz diagonal, elevar D à potência n é simples: basta elevar cada elemento da diagonal à potência n.
D^n = 14^n & 0 0 & 1^n = 14^n & 0 0 & 1

Passo 6

Agora, precisamos calcular P^-1, a inversa da matriz P. Para uma matriz 2 times 2:
P^-1 = 1det(P) d & -b -c & a
Onde P = a & b c & d.
Calculando o determinante de P:
det(P) = (1)(1) - (-4)(3) = 1 + 12 = 13
Então,
P^-1 = 113 1 & 4 -3 & 1

Passo 7

Finalmente, substituímos tudo na fórmula de A^n:
A^n = P D^n P^-1 = 1 & -4 3 & 1 14^n & 0 0 & 1 113 1 & 4 -3 & 1
Multiplicando as matrizes:
1 & -4 3 & 1 14^n & 0 0 & 1 = 14^n & -4 3 times 14^n & 1
E então:
A^n = 113 14^n times 1 + (-4) times (-3) & 14^n times 4 + (-4) times 1 3 times 14^n times 1 + 1 times (-3) & 3 times 14^n times 4 + 1 times 1
Simplificando:
A^n = 113 14^n + 12 & 4 times 14^n - 4 3 times 14^n - 3 & 12 times 14^n + 1 = 14^n + 1213 & 4(14^n -1)13 3(14^n -1)13 & 12 times 14^n +113

Resposta

Assim, a matriz A^n é dada por:
A^n = dfrac14^n + 1213 & dfrac4(14^n -1)13 [6px] dfrac3(14^n -1)13 & dfrac12 times 14^n +113

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