Mostre o que se pede abaixo
- (b) Calcule
, onde
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular
, onde
é a matriz
e
é um número natural. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear, especificamente o método de diagonalização de matrizes. Isso nos ajudará a elevar a matriz a qualquer potência de forma mais simples.
Passo 2
O primeiro passo para diagonalizar a matriz
é encontrar seus valores próprios (ou autovalores). Os valores próprios são números que satisfazem a equação
, onde
é a matriz identidade e
representa os valores próprios.
Vamos calcular:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, os valores próprios são
e
.
Passo 3
Agora que temos os valores próprios, vamos encontrar os vetores próprios correspondentes a cada valor próprio. Os vetores próprios são soluções não trivial da equação
, onde
é o vetor próprio.
Para
:
Isso nos dá as equações:
Então, podemos escolher
, logo
. Assim, um vetor próprio para
é
.
Para
:
Isso nos dá as equações:
Podemos escolher
, assim
. Portanto, um vetor próprio para
é
.
Passo 4
Com os valores próprios e vetores próprios encontrados, podemos formar a matriz
com os vetores próprios como colunas e a matriz diagonal
com os valores próprios na diagonal:
A matriz
pode ser diagonalizada da seguinte forma:
Passo 5
Agora, para calcular
, usamos a propriedade de que, se
, então:
Como
é uma matriz diagonal, elevar
à potência
é simples: basta elevar cada elemento da diagonal à potência
.
Passo 6
Agora, precisamos calcular
, a inversa da matriz
. Para uma matriz
:
Onde
.
Calculando o determinante de
:
Então,
Passo 7
Finalmente, substituímos tudo na fórmula de
:
Multiplicando as matrizes:
E então:
Simplificando:
Resposta
Assim, a matriz
é dada por: