Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular , onde é a matriz e é um número natural. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear, especificamente o método de diagonalização de matrizes. Isso nos ajudará a elevar a matriz a qualquer potência de forma mais simples.
Passo 2
O primeiro passo para diagonalizar a matriz é encontrar seus valores próprios (ou autovalores). Os valores próprios são números que satisfazem a equação , onde é a matriz identidade e representa os valores próprios.
Vamos calcular:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, os valores próprios são e .
Passo 3
Agora que temos os valores próprios, vamos encontrar os vetores próprios correspondentes a cada valor próprio. Os vetores próprios são soluções não trivial da equação , onde é o vetor próprio.
Para :
Isso nos dá as equações:
Então, podemos escolher , logo . Assim, um vetor próprio para é .
Para :
Isso nos dá as equações:
Podemos escolher , assim . Portanto, um vetor próprio para é .
Passo 4
Com os valores próprios e vetores próprios encontrados, podemos formar a matriz com os vetores próprios como colunas e a matriz diagonal com os valores próprios na diagonal:
A matriz pode ser diagonalizada da seguinte forma:
Passo 5
Agora, para calcular , usamos a propriedade de que, se , então:
Como é uma matriz diagonal, elevar à potência é simples: basta elevar cada elemento da diagonal à potência .
Passo 6
Agora, precisamos calcular , a inversa da matriz . Para uma matriz :