Dados (A, *, triang<=) e (B, oplus, odot) anéis, defina em A times B as operações de adição e multiplicação como:
(a, b)+(c, d)=(a * c, b oplus d)
(a, b) cdot(c, d)=(a triang<= c, b odot d)
Mostre que (A times B,+,. ) é um anel Chamamos esse anel de anel produto direto Ainda,é mostre que: Se(A, *, triang<=) e (B, oplus, odot) tem unidade, então (A times B,+,. ) tem unidade;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois anéis, e , e precisamos definir operações de adição e multiplicação no produto . Depois, vamos mostrar que também forma um anel, conhecido como anel produto direto. Além disso, se e tiverem elementos neutros (unidades), devemos provar que também terá um elemento neutro. Para isso, vamos precisar conhecer as definições básicas de anéis e suas propriedades.

Passo 2

Vamos começar lembrando o que é um anel. Um anel é um conjunto equipado com duas operações binárias: adição (+) e multiplicação (·), que satisfazem certas propriedades:
  1. A adição é associativa: .
  2. A adição tem um elemento neutro: existe tal que .
  3. Cada elemento tem um inverso aditivo: para todo , existe tal que .
  4. A multiplicação é associativa: .
  5. A multiplicação distribui sobre a adição: e .
Vamos verificar essas propriedades para com as operações definidas.

Passo 3

Verificando a associatividade da adição:
Temos que:
((a, b) + (c, d)) + (e, f) &= (a * c, b oplus d) + (e, f) &= ((a * c) * e, (b oplus d) oplus f)
E:
(a, b) + ((c, d) + (e, f)) = (a, b) + (c * e, d oplus f) = (a * (c * e), b oplus (d oplus f))
Como (a * c) * e = a * (c * e) e (b oplus d) oplus f = b oplus (d oplus f) e são associativas em e , respectivamente, temos:
Portanto, a adição em é associativa.

Passo 4

Existência do elemento neutro para a adição:
Sabemos que (a, b) + (0A, 0B) = (a * 0A, b oplus 0B) = (a, b) tem um elemento neutro (0A, 0B) + (a, b) = (0A * a, 0B oplus b) = (a, b) para e tem para . Vamos mostrar que é o neutro para a adição em :
E:
Assim, é o elemento neutro da adição em .

Passo 5

Existência dos inversos aditivos:
Para cada (a, b) + (-a, -b) = (a * (-a), b oplus (-b)) = (0A, 0B) em , temos que é o inverso de em e é o inverso de em . Então:
Portanto, cada elemento em tem um inverso aditivo.

Passo 6

Associatividade da multiplicação:
Vamos verificar que a multiplicação é associativa:
((a, b) cdot (c, d)) cdot (e, f) = (a triang<= c, b odot d) cdot (e, f) = ((a triang<= c) triang<= e, (b odot d) odot f)
E:
(a, b) cdot ((c, d) cdot (e, f)) = (a, b) cdot (c triang<= e, d odot f) = (a triang<= (c triang<= e), b odot (d odot f))
Como (a triang<= c) triang<= e = a triang<= (c triang<= e) e (b odot d) odot f = b odot (d odot f) e são associativas em e , respectivamente, temos:
Portanto, a multiplicação em é associativa.

Passo 7

Distributividade da multiplicação sobre a adição:
Vamos verificar (a triang<= (c * e), b odot (d oplus f)) :
(a, b) cdot (c, d) + (a, b) cdot (e, f) = (a triang<= c, b odot d) + (a triang<= e, b odot f) = ((a triang<= c) * (a triang<= e), (b odot d) oplus (b odot f))
E:
a triang<= (c * e) = (a triang<= c) * (a triang<= e)
Para que a distributividade seja válida, precisamos que:
b odot (d oplus f) = (b odot d) oplus (b odot f)
E:
Assumindo que distribui sobre em , e distribui sobre em , as propriedades são satisfeitas. Portanto, a multiplicação distribui sobre a adição em .

Passo 8

Existência da unidade no produto direto:
Agora, vamos mostrar que se (a, b) cdot (1A, 1B) = (a triang<= 1A, b odot 1B) = (a, b) e (1A, 1B) cdot (a, b) = (1A triang<= a, 1B odot b) = (a, b) têm elementos neutros para a multiplicação, então também tem. Suponha que tem unidade e tem unidade .
O elemento deve ser a unidade em :
E:
Assim, atua como identidade para a multiplicação em .

Resposta

Concluímos que é um anel, chamado de anel produto direto. Além disso, se e possuem elementos neutros para a multiplicação, então também possui um elemento neutro, dado por .

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