Dados
e
anéis, defina em
as operações de adição e multiplicação como:
Mostre que
.
mostre que:
e
tem unidade, então
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois anéis,
e
, e precisamos definir operações de adição e multiplicação no produto
. Depois, vamos mostrar que
também forma um anel, conhecido como anel produto direto. Além disso, se
e
tiverem elementos neutros (unidades), devemos provar que
também terá um elemento neutro. Para isso, vamos precisar conhecer as definições básicas de anéis e suas propriedades.
Passo 2
Vamos começar lembrando o que é um anel. Um anel é um conjunto equipado com duas operações binárias: adição (+) e multiplicação (·), que satisfazem certas propriedades:
- A adição é associativa:
. - A adição tem um elemento neutro: existe
tal que . - Cada elemento tem um inverso aditivo: para todo
, existe tal que . - A multiplicação é associativa:
. - A multiplicação distribui sobre a adição:
e .
Vamos verificar essas propriedades para
com as operações definidas.
Passo 3
Verificando a associatividade da adição:
Temos que:
E:
Como
e
são associativas em
e
, respectivamente, temos:
Portanto, a adição em
é associativa.
Passo 4
Existência do elemento neutro para a adição:
Sabemos que
tem um elemento neutro
para
e
tem
para
. Vamos mostrar que
é o neutro para a adição em
:
E:
Assim,
é o elemento neutro da adição em
.
Passo 5
Existência dos inversos aditivos:
Para cada
em
, temos que
é o inverso de
em
e
é o inverso de
em
. Então:
Portanto, cada elemento em
tem um inverso aditivo.
Passo 6
Associatividade da multiplicação:
Vamos verificar que a multiplicação é associativa:
E:
Como
e
são associativas em
e
, respectivamente, temos:
Portanto, a multiplicação em
é associativa.
Passo 7
Distributividade da multiplicação sobre a adição:
Vamos verificar
:
E:
Para que a distributividade seja válida, precisamos que:
E:
Assumindo que
distribui sobre
em
, e
distribui sobre
em
, as propriedades são satisfeitas. Portanto, a multiplicação distribui sobre a adição em
.
Passo 8
Existência da unidade no produto direto:
Agora, vamos mostrar que se
e
têm elementos neutros para a multiplicação, então
também tem. Suponha que
tem unidade
e
tem unidade
.
O elemento
deve ser a unidade em
:
E:
Assim,
atua como identidade para a multiplicação em
.
Resposta
Concluímos que
é um anel, chamado de anel produto direto. Além disso, se
e
possuem elementos neutros para a multiplicação, então
também possui um elemento neutro, dado por
.