Seja f: X Y uma função. Prove que:
f é injetiva se e somente se existe g: Y X tal que g circ f=IX (i.e., f é invertível à esquerda)

Passo 1

Vamos lá! Temos uma função e queremos provar que ela é injetiva se e somente se existe uma outra função tal que, quando a gente compõe essas duas funções ( ), o resultado é a função identidade em , ou seja, .
Matéria envolvida: Funções, injetividade, função identidade e propriedades de funções inversas.
O que vamos precisar: Entender o que significa uma função ser injetiva, como funciona a composição de funções e o conceito de função identidade.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma função injetiva. Uma função é injetiva se elementos diferentes de sempre levam a elementos diferentes em . Em outras palavras, se então necessariamente .

Passo 3

Agora, vamos entender o que quer dizer ter uma função tal que . A função identidade é aquela que, para cada elemento em , . Então, significa que, para todo em , .

Passo 4

Primeira parte da prova ( ): Suponha que é injetiva. Queremos construir uma função que, quando composta com , dá a identidade em .
Como é injetiva, cada em tem exatamente um em tal que . Assim, podemos definir para esse . Isso garante que , ou seja, .

Passo 5

Segunda parte da prova ( ): Agora, suponha que existe uma função tal que . Vamos mostrar que é injetiva.
Se , aplicando nos dois lados, temos . Mas , então e . Assim, , o que prova que é injetiva.

Resposta

Portanto, mostramos que é injetiva se e somente se existe uma função tal que . Isso completa a prova!

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