Seja
uma função. Prove que:
é injetiva se e somente se existe
tal que
(i.e.,
é invertível à esquerda)
Passo 1
Vamos lá! Temos uma função
e queremos provar que ela é injetiva se e somente se existe uma outra função
tal que, quando a gente compõe essas duas funções (
), o resultado é a função identidade em
, ou seja,
.
Matéria envolvida: Funções, injetividade, função identidade e propriedades de funções inversas.
O que vamos precisar: Entender o que significa uma função ser injetiva, como funciona a composição de funções e o conceito de função identidade.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma função injetiva. Uma função
é injetiva se elementos diferentes de
sempre levam a elementos diferentes em
. Em outras palavras, se
então necessariamente
.
Passo 3
Agora, vamos entender o que quer dizer ter uma função
tal que
. A função identidade
é aquela que, para cada elemento
em
,
. Então,
significa que, para todo
em
,
.
Passo 4
Primeira parte da prova (
): Suponha que
é injetiva. Queremos construir uma função
que, quando composta com
, dá a identidade em
.
Como
é injetiva, cada
em
tem exatamente um
em
tal que
. Assim, podemos definir
para esse
. Isso garante que
, ou seja,
.
Passo 5
Segunda parte da prova (
): Agora, suponha que existe uma função
tal que
. Vamos mostrar que
é injetiva.
Se
, aplicando
nos dois lados, temos
. Mas
, então
e
. Assim,
, o que prova que
é injetiva.
Resposta
Portanto, mostramos que
é injetiva se e somente se existe uma função
tal que
. Isso completa a prova!