Mostre que: Existe uma infinidade de corpos
tais que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que existem infinitos corpos
que satisfazem
. Isso está relacionado ao estudo das extensões de campos, um tópico da álgebra abstrata. Para resolver, vamos usar conceitos sobre campos intermediários entre
e
.
Passo 2
Primeiro, lembremos que
é o campo dos números racionais e
é o campo dos números reais. Queremos encontrar campos
que contenham todos os racionais e que, ao mesmo tempo, estejam contidos nos reais.
Passo 3
Vamos considerar números reais que não são racionais, ou seja, números irracionais. Se pegarmos um número irracional específico, como
, podemos formar um novo campo adicionando esse número aos racionais. Esse novo campo seria
, que inclui todos os números da forma
, onde
e
são racionais.
Passo 4
Agora, generalizando, para qualquer número real irracional
, podemos formar o campo
, que consiste em todas as combinações lineares de potências de
com coeficientes racionais. Cada escolha diferente de
gera um campo intermediário diferente.
Passo 5
Como existem infinitos números irracionais em
, isso nos dá uma maneira de construir infinitos campos diferentes
, cada um contendo
e estando contido em
. Portanto, há uma infinidade de corpos
que satisfazem
.
Resposta
Existe, de fato, uma infinidade de corpos
tais que
. Cada escolha de um número real irracional para formar
gera um campo intermediário distinto, e como há infinitos números irracionais, há infinitos corpos
satisfazendo a condição.