Mostre que: Existe uma infinidade de corpos K tais que Q subset K subset R.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que existem infinitos corpos K que satisfazem Q subset K subset R. Isso está relacionado ao estudo das extensões de campos, um tópico da álgebra abstrata. Para resolver, vamos usar conceitos sobre campos intermediários entre Q e R.

Passo 2

Primeiro, lembremos que Q é o campo dos números racionais e R é o campo dos números reais. Queremos encontrar campos K que contenham todos os racionais e que, ao mesmo tempo, estejam contidos nos reais.

Passo 3

Vamos considerar números reais que não são racionais, ou seja, números irracionais. Se pegarmos um número irracional específico, como raiz2, podemos formar um novo campo adicionando esse número aos racionais. Esse novo campo seria Q(raiz2), que inclui todos os números da forma a + braiz2, onde a e b são racionais.

Passo 4

Agora, generalizando, para qualquer número real irracional alpha, podemos formar o campo Q(alpha), que consiste em todas as combinações lineares de potências de alpha com coeficientes racionais. Cada escolha diferente de alpha gera um campo intermediário diferente.

Passo 5

Como existem infinitos números irracionais em R, isso nos dá uma maneira de construir infinitos campos diferentes Q(alpha), cada um contendo Q e estando contido em R. Portanto, há uma infinidade de corpos K que satisfazem Q subset K subset R.

Resposta

Existe, de fato, uma infinidade de corpos K tais que Q subset K subset R. Cada escolha de um número real irracional para formar Q(alpha) gera um campo intermediário distinto, e como há infinitos números irracionais, há infinitos corpos K satisfazendo a condição.

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