Dados
e
anéis, defina em
as operações de adição e multiplicação como:
Mostre que
.
mostre que: Se
e
são comutativos, então
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre anéis, que são estruturas matemáticas com duas operações: adição e multiplicação. Temos dois anéis,
e
. Nosso objetivo é mostrar que o produto deles,
, com as operações definidas por:
também forma um anel. Além disso, queremos provar que se os anéis
e
forem comutativos (ou seja, a ordem das operações não altera o resultado), então o anel produto
também será comutativo.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a adição em
é bem definida e satisfaz as propriedades de um anel. Precisamos mostrar que a adição é fechada, associativa, tem um elemento neutro e que todo elemento tem um inverso.
Passo 3
Fechamento da Adição: Se
e
estão em
, então
também está em
porque
e
são anéis e suas operações fecham dentro de cada conjunto.
Associatividade da Adição: Para quaisquer três elementos
,
, e
em
:
E
Como a adição em
e
é associativa, temos que
e
, então a adição em
também é associativa.
Elemento Neutro da Adição: O par
onde
é o neutro de
e
é o neutro de
, satisfaz:
Inverso Aditivo: Para cada
em
, existe
tal que:
Passo 4
Agora, vamos verificar as propriedades da multiplicação.
Fechamento da Multiplicação: Se
e
estão em
, então
também está em
.
Associatividade da Multiplicação: Para quaisquer três elementos
,
, e
em
:
E
Como a multiplicação em
e
é associativa, temos que
e
, então a multiplicação em
também é associativa.
Elemento Neutro da Multiplicação: Geralmente, consideramos que os anéis tenham um elemento neutro multiplicativo. Se
e
têm elementos neutros
e
, então
será o neutro em
:
Passo 5
Finalmente, precisamos verificar as propriedades distributivas, que ligam a adição e a multiplicação:
E
Como as operações em
e
respeitam a distributividade, as propriedades são mantidas em
.
Além disso, para a segunda parte da questão: Se
e
são comutativos, ou seja,
e
, então:
Portanto, a multiplicação em
também é comutativa.
Resposta
Concluímos que
é um anel, chamado de anel produto direto. Além disso, se os anéis
e
forem comutativos, então o anel produto direto
também é comutativo.