Dados (A, *, triang<=) e (B, oplus, odot) anéis, defina em A times B as operações de adição e multiplicação como:
(a, b)+(c, d)=(a * c, b oplus d)
(a, b) cdot(c, d)=(a triang<= c, b odot d)
Mostre que (A times B,+,. ) é um anel Chamamos esse anel de anel produto direto Ainda,é mostre que: Se (A, *, triang<=) e (B, oplus, odot) são comutativos, então (A times B,+,. ) é comutativoé

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre anéis, que são estruturas matemáticas com duas operações: adição e multiplicação. Temos dois anéis, (A, *, triang<=) e (B, oplus, odot). Nosso objetivo é mostrar que o produto deles, A times B, com as operações definidas por:
(a, b) + (c, d) = (a * c, b oplus d)
(a, b) cdot (c, d) = (a triang<= c, b odot d)
também forma um anel. Além disso, queremos provar que se os anéis A e B forem comutativos (ou seja, a ordem das operações não altera o resultado), então o anel produto A times B também será comutativo.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a adição em A times B é bem definida e satisfaz as propriedades de um anel. Precisamos mostrar que a adição é fechada, associativa, tem um elemento neutro e que todo elemento tem um inverso.

Passo 3

Fechamento da Adição: Se (a, b) e (c, d) estão em A times B, então (a * c, b oplus d) também está em A times B porque A e B são anéis e suas operações fecham dentro de cada conjunto.
Associatividade da Adição: Para quaisquer três elementos (a, b), (c, d), e (e, f) em A times B:
[(a, b) + (c, d)] + (e, f) = (a * c, b oplus d) + (e, f) = ((a * c) * e, (b oplus d) oplus f)
E
(a, b) + [(c, d) + (e, f)] = (a, b) + (c * e, d oplus f) = (a * (c * e), b oplus (d oplus f))
Como a adição em A e B é associativa, temos que (a * c) * e = a * (c * e) e (b oplus d) oplus f = b oplus (d oplus f), então a adição em A times B também é associativa.
Elemento Neutro da Adição: O par (0A, 0B) onde 0A é o neutro de A e 0B é o neutro de B, satisfaz:
(a, b) + (0A, 0B) = (a * 0A, b oplus 0B) = (a, b)
Inverso Aditivo: Para cada (a, b) em A times B, existe (-a, -b) tal que:
(a, b) + (-a, -b) = (a * (-a), b oplus (-b)) = (0A, 0B)

Passo 4

Agora, vamos verificar as propriedades da multiplicação.
Fechamento da Multiplicação: Se (a, b) e (c, d) estão em A times B, então (a triang<= c, b odot d) também está em A times B.
Associatividade da Multiplicação: Para quaisquer três elementos (a, b), (c, d), e (e, f) em A times B:
[(a, b) cdot (c, d)] cdot (e, f) = (a triang<= c, b odot d) cdot (e, f) = ((a triang<= c) triang<= e, (b odot d) odot f)
E
(a, b) cdot [(c, d) cdot (e, f)] = (a, b) cdot (c triang<= e, d odot f) = (a triang<= (c triang<= e), b odot (d odot f))
Como a multiplicação em A e B é associativa, temos que (a triang<= c) triang<= e = a triang<= (c triang<= e) e (b odot d) odot f = b odot (d odot f), então a multiplicação em A times B também é associativa.
Elemento Neutro da Multiplicação: Geralmente, consideramos que os anéis tenham um elemento neutro multiplicativo. Se A e B têm elementos neutros 1A e 1B, então (1A, 1B) será o neutro em A times B:
(a, b) cdot (1A, 1B) = (a triang<= 1A, b odot 1B) = (a, b)

Passo 5

Finalmente, precisamos verificar as propriedades distributivas, que ligam a adição e a multiplicação:
(a, b) cdot [(c, d) + (e, f)] = (a, b) cdot (c * e, d oplus f) = (a triang<= (c * e), b odot (d oplus f))
E
(a, b) cdot (c, d) + (a, b) cdot (e, f) = (a triang<= c, b odot d) + (a triang<= e, b odot f) = ((a triang<= c) * (a triang<= e), (b odot d) oplus (b odot f))
Como as operações em A e B respeitam a distributividade, as propriedades são mantidas em A times B.
Além disso, para a segunda parte da questão: Se A e B são comutativos, ou seja, a * c = c * a e b oplus d = d oplus b, então:
(a, b) cdot (c, d) = (a triang<= c, b odot d) = (c triang<= a, d odot b) = (c, d) cdot (a, b)
Portanto, a multiplicação em A times B também é comutativa.

Resposta

Concluímos que (A times B, +, cdot) é um anel, chamado de anel produto direto. Além disso, se os anéis (A, *, triang<=) e (B, oplus, odot) forem comutativos, então o anel produto direto (A times B, +, cdot) também é comutativo.

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