Seja
uma função. Prove que:
Se
bijetiva então
.
Se
Passo 1
Vamos lá! O exercício nos pede para provar que se temos uma função
que é bijetiva, então os conjuntos de partida e chegada têm o mesmo tamanho, ou seja,
. Vamos usar conceitos de injeção, sobrejeção e bijeção para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser bijetiva. Uma função é bijetiva quando ela é tanto injetora (cada elemento do domínio mapeia para um elemento único no contradomínio, ou seja, sem repetições) quanto sobrejetora (cada elemento do contradomínio é a imagem de algum elemento do domínio).
Passo 3
Vamos pensar no tamanho dos conjuntos. Se
é injetora, não há elementos no conjunto de chegada que recebem mais de um elemento do conjunto de partida. Isso implica que
não pode ser maior que
, ou seja,
.
Passo 4
Por outro lado, se
é sobrejetora, todo elemento do conjunto de chegada deve ser atingido por pelo menos um elemento do conjunto de partida. Isso significa que
não pode ser maior que
, ou seja,
.
Passo 5
Juntando as duas informações:
e
. A única maneira de ambas as desigualdades serem verdadeiras ao mesmo tempo é que
.
Resposta
Portanto, se a função
é bijetiva, então necessariamente
.