Seja f:1,2, ldots, m 1,2, ldots, n uma função. Prove que:
Se f bijetiva então m=n.

Passo 1

Vamos lá! O exercício nos pede para provar que se temos uma função que é bijetiva, então os conjuntos de partida e chegada têm o mesmo tamanho, ou seja, . Vamos usar conceitos de injeção, sobrejeção e bijeção para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser bijetiva. Uma função é bijetiva quando ela é tanto injetora (cada elemento do domínio mapeia para um elemento único no contradomínio, ou seja, sem repetições) quanto sobrejetora (cada elemento do contradomínio é a imagem de algum elemento do domínio).

Passo 3

Vamos pensar no tamanho dos conjuntos. Se é injetora, não há elementos no conjunto de chegada que recebem mais de um elemento do conjunto de partida. Isso implica que não pode ser maior que , ou seja, .

Passo 4

Por outro lado, se é sobrejetora, todo elemento do conjunto de chegada deve ser atingido por pelo menos um elemento do conjunto de partida. Isso significa que não pode ser maior que , ou seja, .

Passo 5

Juntando as duas informações: e . A única maneira de ambas as desigualdades serem verdadeiras ao mesmo tempo é que .

Resposta

Portanto, se a função é bijetiva, então necessariamente .

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