Seja
uma função. Prove que:
Se
sobrejetiva então
.
Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
que vai de um conjunto com
elementos para outro com
elementos. A questão pede pra gente provar que se essa função é sobrejetiva (ou seja, todo elemento do conjunto de chegada é atingido por algum elemento do conjunto de partida), então necessariamente
tem que ser pelo menos igual a
. Vamos precisar entender bem o que é uma função sobrejetiva e usar um raciocínio lógico básico pra chegar na conclusão.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser sobrejetiva. Uma função
é sobrejetiva se, para todo
em
, existe pelo menos um
em
tal que
. Isso quer dizer que não sobra nenhum elemento no conjunto de chegada que não seja atingido pela função.
Passo 3
Agora, vamos pensar no número de elementos de cada conjunto. Se
é sobrejetiva, cada um dos
elementos do conjunto de chegada precisa ser atingido por pelo menos um elemento do conjunto de partida. Se tivéssemos menos elementos em
que em
(ou seja, se
), não seria possível cobrir todos os
elementos de
com apenas
elementos de
.
Passo 4
Para deixar claro, se
, vamos supor que
, por exemplo. Isso significaria que temos apenas
elementos para mapear para
elementos. Na melhor das hipóteses, cada elemento de
pode atingir apenas um elemento de
, deixando pelo menos um elemento de
sem ser atingido, o que contraria a definição de sobrejetividade.
Passo 5
Portanto, para que cada elemento de
seja atingido por pelo menos um elemento de
, o número de elementos em
precisa ser igual ou maior que o número de elementos em
. Isso garante que não sobra nenhum elemento em
sem um correspondente em
.
Resposta
Assim, se
é uma função sobrejetiva de
para
, então necessariamente
.