Seja f:1,2, ldots, m 1,2, ldots, n uma função. Prove que:
Se f sobrejetiva então m >= n.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que vai de um conjunto com elementos para outro com elementos. A questão pede pra gente provar que se essa função é sobrejetiva (ou seja, todo elemento do conjunto de chegada é atingido por algum elemento do conjunto de partida), então necessariamente tem que ser pelo menos igual a . Vamos precisar entender bem o que é uma função sobrejetiva e usar um raciocínio lógico básico pra chegar na conclusão.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser sobrejetiva. Uma função é sobrejetiva se, para todo em , existe pelo menos um em tal que . Isso quer dizer que não sobra nenhum elemento no conjunto de chegada que não seja atingido pela função.

Passo 3

Agora, vamos pensar no número de elementos de cada conjunto. Se é sobrejetiva, cada um dos elementos do conjunto de chegada precisa ser atingido por pelo menos um elemento do conjunto de partida. Se tivéssemos menos elementos em que em (ou seja, se ), não seria possível cobrir todos os elementos de com apenas elementos de .

Passo 4

Para deixar claro, se , vamos supor que , por exemplo. Isso significaria que temos apenas elementos para mapear para elementos. Na melhor das hipóteses, cada elemento de pode atingir apenas um elemento de , deixando pelo menos um elemento de sem ser atingido, o que contraria a definição de sobrejetividade.

Passo 5

Portanto, para que cada elemento de seja atingido por pelo menos um elemento de , o número de elementos em precisa ser igual ou maior que o número de elementos em . Isso garante que não sobra nenhum elemento em sem um correspondente em .

Resposta

Assim, se é uma função sobrejetiva de para , então necessariamente .

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