Verificar se transformações abaixo são lineares. A expressão geral de uma transformação linear T: R^3 em R é T(x, y, z)=a x+b y+c z. Dados os vetores u=(1,2,3), v=(-1,2,3) e w(1,-2,3), determine a, b, c de tal modo que se tenha T(u)=1, T(v)=0 e T(w)=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se uma transformação é linear. A transformação geral que estamos lidando é . Nosso objetivo é encontrar os valores de , e que satisfazem as condições dadas:
  • onde
  • onde
  • onde
Para isso, vamos usar um pouco de álgebra linear e montar um sistema de equações com essas informações.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformação T(u) = a cdot 1 + b cdot 2 + c cdot 3 = 1 aos vetores a + 2b + 3c = 1 (Equação 1) , e . Isso significa substituir , e pelos componentes de cada vetor na expressão de .
Para o vetor :
Então temos a equação:
çã

Passo 3

Agora, vamos fazer o mesmo para o vetor T(v) = a cdot (-1) + b cdot 2 + c cdot 3 = 0 :
- a + 2b + 3c = 0 (Equação 2)
Isso nos dá a segunda equação:
çã

Passo 4

E por fim, para o vetor T(w) = a cdot 1 + b cdot (-2) + c cdot 3 = 0 :
a - 2b + 3c = 0 (Equação 3)
A terceira equação fica:
çã

Passo 5

Agora temos um sistema de três equações com três incógnitas:
a + 2b + 3c = 1 - a + 2b + 3c = 0 a - 2b + 3c = 0
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, somamos a Equação 1 com a Equação 2 para eliminar (a - a) + (2b + 2b) + (3c + 3c) = 1 + 0 Rightarrow 4b + 6c = 1 (Equação 4) :
çã

Passo 6

Agora, vamos somar a Equação 1 com a Equação 3:
(a + a) + (2b - 2b) + (3c + 3c) = 1 + 0 Rightarrow 2a + 6c = 1 (Equação 5) çã
Agora temos:
4b + 6c = 1 2a + 6c = 1
Podemos simplificar a Equação 4 dividindo tudo por 2:
2b + 3c = 12 (Equação 6) çã

Passo 7

Vamos voltar à Equação 2 para expressar - a + 2b + 3c = 0 Rightarrow a = 2b + 3c em termos de e :
Agora temos em função de e .

Passo 8

Substituímos 2(2b + 3c) + 6c = 1 Rightarrow 4b + 6c + 6c = 1 Rightarrow 4b + 12c = 1 na Equação 5:
b + 3c = 14 (Equação 7)
Dividindo tudo por 4:
çã

Passo 9

Agora, temos duas equações com 2b + 3c = 12 (Equação 6) b + 3c = 14 (Equação 7) e (2b - b) + (3c - 3c) = 12 - 14 Rightarrow b = 14 :
çãçã
Vamos subtrair a Equação 7 da Equação 6:

Passo 10

Agora que sabemos que 14 + 3c = 14 Rightarrow 3c = 0 Rightarrow c = 0 , vamos substituir esse valor na Equação 7 para encontrar :

Passo 11

Com a = 2b + 3c = 2 cdot 14 + 3 cdot 0 = 12 e , voltamos à expressão que encontramos para :

Resposta

Os valores que satisfazem as condições são:
a = 12, b = 14, c = 0

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