Verificar se transformações abaixo são lineares. A expressão geral de uma transformação linear em é . Dados os vetores , determine de tal modo que se tenha e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se uma transformação é linear. A transformação geral que estamos lidando é . Nosso objetivo é encontrar os valores de , e que satisfazem as condições dadas:
onde
onde
onde
Para isso, vamos usar um pouco de álgebra linear e montar um sistema de equações com essas informações.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformação aos vetores , e . Isso significa substituir , e pelos componentes de cada vetor na expressão de .
Para o vetor :
Então temos a equação:
Passo 3
Agora, vamos fazer o mesmo para o vetor :
Isso nos dá a segunda equação:
Passo 4
E por fim, para o vetor :
A terceira equação fica:
Passo 5
Agora temos um sistema de três equações com três incógnitas:
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, somamos a Equação 1 com a Equação 2 para eliminar (a - a) + (2b + 2b) + (3c + 3c) = 1 + 0 Rightarrow 4b + 6c = 1 (Equação 4) :