Verificar se transformações abaixo são lineares. A expressão geral de uma transformação linear em é . Dados os vetores , determine de tal modo que se tenha e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se uma transformação é linear. A transformação geral que estamos lidando é . Nosso objetivo é encontrar os valores de , e que satisfazem as condições dadas:
onde
onde
onde
Para isso, vamos usar um pouco de álgebra linear e montar um sistema de equações com essas informações.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformação aos vetores , e . Isso significa substituir , e pelos componentes de cada vetor na expressão de .
Para o vetor :
Então temos a equação:
Passo 3
Agora, vamos fazer o mesmo para o vetor :
Isso nos dá a segunda equação:
Passo 4
E por fim, para o vetor :
A terceira equação fica:
Passo 5
Agora temos um sistema de três equações com três incógnitas:
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, somamos a Equação 1 com a Equação 2 para eliminar :
çã
Passo 6
Agora, vamos somar a Equação 1 com a Equação 3:
çã
Agora temos:
Podemos simplificar a Equação 4 dividindo tudo por 2:
çã
Passo 7
Vamos voltar à Equação 2 para expressar em termos de e :
Agora temos em função de e .
Passo 8
Substituímos na Equação 5:
Dividindo tudo por 4:
çã
Passo 9
Agora, temos duas equações com e :
çãçã
Vamos subtrair a Equação 7 da Equação 6:
Passo 10
Agora que sabemos que , vamos substituir esse valor na Equação 7 para encontrar :
Passo 11
Com e , voltamos à expressão que encontramos para :