Encontre um vetor u tal que seja ortogonais aos vetores v1=(2,0,2) e v2=(1,3,0)].

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver um exercício de álgebra vetorial onde precisamos encontrar um vetor que seja ortogonal aos vetores e . Isso envolve conceitos de vetores e produtos vetoriais, que são super importantes pra entender como vetores se relacionam no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ser ortogonal: dois vetores são ortogonais se o produto interno (ou produto escalar) deles for zero. Mas aqui queremos que seja ortogonal a dois vetores. A forma mais fácil de encontrar um vetor que seja ortogonal a dois vetores dados é usando o produto vetorial.

Passo 3

O produto vetorial de dois vetores u = v1 times v2 = (b f - c e, c d - a f, a e - b d) e é um novo vetor calculado assim:
Esse vetor é ortogonal tanto a quanto a .

Passo 4

Vamos aplicar essa fórmula aos nossos vetores:
v1 = (2, 0, 2) e v2 = (1, 3, 0)
Agora, vamos calcular cada componente de ux = b f - c e = 0 times 0 - 2 times 3 = 0 - 6 = -6 :
  • Componente x:
uy = c d - a f = 2 times 1 - 2 times 0 = 2 - 0 = 2
  • Componente y:
uz = a e - b d = 2 times 3 - 0 times 1 = 6 - 0 = 6
  • Componente z:

Passo 5

Então, juntando as componentes, o vetor u = (-6, 2, 6) fica:

Resposta

O vetor que é ortogonal aos vetores e é .

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