Dados U, W subespaços do espaço vetorial V determinar, nos seguintes casos:
(i) uma base e a dimensão de U.
(ii) uma base e a dimensão de W.
(iii) uma base e a dimensão de U+W.
(iv) uma base e a dimensão de U cap W.
U=(x, y, z, t) in R^4 / x+y=t-z=0, W=(x, y, z, t) in R^4 / z=t=0, V=R^4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois subespaços e de um espaço vetorial . O objetivo aqui é encontrar bases e dimensões para , , e . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como subespaços, bases, dimensões, soma e interseção de subespaços. Vamos precisar entender como representar esses subespaços por meio de sistemas de equações e encontrar vetores que formem as bases.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor os subespaços U = (x, y, z, t) in R^4 mid x + y = 0 e t - z = 0 e W = (x, y, z, t) in R^4 mid z = 0 e t = 0 .
O subespaço é definido por:
Isso significa que todo vetor em satisfaz duas equações: e .
O subespaço é definido por:
Aqui, qualquer vetor em tem e .
Vamos começar encontrando uma base e a dimensão de .

Passo 3

Parte (i): Encontrar uma base e a dimensão de x + y = 0 t - z = 0
Para encontrar uma base de x = -y t = z , precisamos expressar os vetores de (x, y, z, t) = (-y, y, z, z) = y(-1, 1, 0, 0) + z(0, 0, 1, 1) em termos de parâmetros livres.
As equações que definem BU = -1 1 0 0 , 0 0 1 1 são:
dim(U) = 2
Podemos resolver esse sistema para expressar algumas variáveis em termos de outras.
Vamos resolver para e :
Assim, podemos expressar qualquer vetor em como:
Isso mostra que qualquer vetor em é uma combinação linear dos vetores e .
Base de :
Dimensão de :
A dimensão é o número de vetores na base. Aqui, temos 2 vetores, então:

Passo 4

Parte (ii): Encontrar uma base e a dimensão de z = 0 t = 0
Agora, vamos encontrar uma base para (x, y, 0, 0) .
As condições que definem (x, y, 0, 0) = x(1, 0, 0, 0) + y(0, 1, 0, 0) são:
BW = 1 0 0 0 , 0 1 0 0
Isso significa que qualquer vetor em dim(W) = 2 tem a forma:
Podemos expressar esse vetor como:
Portanto, os vetores e formam uma base para .
Base de :
Dimensão de :
Novamente, temos 2 vetores na base, então:

Passo 5

Parte (iii): Encontrar uma base e a dimensão de U + W = u + w mid u in U, w in W
A soma BU = -1 1 0 0 , 0 0 1 1 é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de BW = 1 0 0 0 , 0 1 0 0 e um vetor de BU+W = -1 1 0 0 , 0 0 1 1 , 1 0 0 0 , 0 1 0 0 :
-1 & 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0
Vamos usar as bases que já encontramos para BU+W = -1 1 0 0 , 0 0 1 1 , 1 0 0 0 e BU+W = -1 1 0 0 , 0 0 1 1 , 1 0 0 0 :
Base de dim(U + W) = 3 :
Base de :
Para encontrar uma base de , juntamos todas essas bases:
Agora, precisamos verificar se esses vetores são linearmente independentes. Montamos a matriz com esses vetores como colunas e calculamos o posto.
Matriz:
Percebemos que as últimas duas colunas são iguais, então temos vetores linearmente dependentes. Removemos um deles:
Agora, verificamos novamente a independência linear. Não há combinações não triviais que igualem a zero, então esses três vetores formam uma base para .
Base de :
Dimensão de :
Como a base tem 3 vetores, temos:

Passo 6

Parte (iv): Encontrar uma base e a dimensão de U = (x, y, z, t) in R^4 mid x + y = 0 e t - z = 0
A interseção W = (x, y, z, t) in R^4 mid z = 0 e t = 0 é o conjunto de vetores que pertencem tanto a x + y = 0 t - z = 0 z = 0 t = 0 quanto a z = 0 t = 0 t - z = 0 Rightarrow 0 - 0 = 0 (já satisfeito) x + y = 0 Rightarrow x = -y . Ou seja, são vetores que satisfazem as condições de ambos os subespaços.
Vamos lembrar as definições:
(x, y, z, t) = (-y, y, 0, 0) = y(-1, 1, 0, 0)
BU cap W = -1 1 0 0
Um vetor dim(U cap W) = 1 está em se:
Vamos resolver esse sistema:
á
Então, qualquer vetor em tem a forma:
Isso mostra que todos os vetores em são múltiplos do vetor .
Base de :
Dimensão de :
Como a base tem apenas 1 vetor, temos:

Resposta

(i) Uma base para é e .
(ii) Uma base para é e .
(iii) Uma base para é e .
(iv) Uma base para é e .

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