Dados subespaços do espaço vetorial determinar, nos seguintes casos:
(i) uma base e a dimensão de .
(ii) uma base e a dimensão de .
(iii) uma base e a dimensão de .
(iv) uma base e a dimensão de .
, .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois subespaços e de um espaço vetorial . O objetivo aqui é encontrar bases e dimensões para , , e . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como subespaços, bases, dimensões, soma e interseção de subespaços. Vamos precisar entender como representar esses subespaços por meio de sistemas de equações e encontrar vetores que formem as bases.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor os subespaços e .
O subespaço é definido por:
Isso significa que todo vetor em satisfaz duas equações: e .
O subespaço é definido por:
Aqui, qualquer vetor em tem e .
Vamos começar encontrando uma base e a dimensão de .

Passo 3

Parte (i): Encontrar uma base e a dimensão de
Para encontrar uma base de , precisamos expressar os vetores de em termos de parâmetros livres.
As equações que definem são:
Podemos resolver esse sistema para expressar algumas variáveis em termos de outras.
Vamos resolver para e :
Assim, podemos expressar qualquer vetor em como:
Isso mostra que qualquer vetor em é uma combinação linear dos vetores e .
Base de :
Dimensão de :
A dimensão é o número de vetores na base. Aqui, temos 2 vetores, então:

Passo 4

Parte (ii): Encontrar uma base e a dimensão de
Agora, vamos encontrar uma base para .
As condições que definem são:
Isso significa que qualquer vetor em tem a forma:
Podemos expressar esse vetor como:
Portanto, os vetores e formam uma base para .
Base de :
Dimensão de :
Novamente, temos 2 vetores na base, então:

Passo 5

Parte (iii): Encontrar uma base e a dimensão de
A soma é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de e um vetor de :
Vamos usar as bases que já encontramos para e :
Base de :
Base de :
Para encontrar uma base de , juntamos todas essas bases:
Agora, precisamos verificar se esses vetores são linearmente independentes. Montamos a matriz com esses vetores como colunas e calculamos o posto.
Matriz:
Percebemos que as últimas duas colunas são iguais, então temos vetores linearmente dependentes. Removemos um deles:
Agora, verificamos novamente a independência linear. Não há combinações não triviais que igualem a zero, então esses três vetores formam uma base para .
Base de :
Dimensão de :
Como a base tem 3 vetores, temos:

Passo 6

Parte (iv): Encontrar uma base e a dimensão de
A interseção é o conjunto de vetores que pertencem tanto a quanto a . Ou seja, são vetores que satisfazem as condições de ambos os subespaços.
Vamos lembrar as definições:
Um vetor está em se:
Vamos resolver esse sistema:
á
Então, qualquer vetor em tem a forma:
Isso mostra que todos os vetores em são múltiplos do vetor .
Base de :
Dimensão de :
Como a base tem apenas 1 vetor, temos:

Resposta

(i) Uma base para é e .
(ii) Uma base para é e .
(iii) Uma base para é e .
(iv) Uma base para é e .

Exercícios relacionados

Sejam subespaços vetoriais de . Determine uma base e a dimensão dos subespaços e .
.
Sejam , . Nos itens abaixo, clacule a matriz indicada (se possível).
(m) ;
Prove, utilizando a Proposição 2 (Dependência Linear e Base), que ( ) é LD, quaisquer que sejam e .
Provar as propriedades de soma de matrizes, matrizes transpostas e matriz inversa.