Prove, utilizando a Proposição 2 (Dependência Linear e Base), que ( ) é LD, quaisquer que sejam e .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A questão quer que a gente prove, usando a Proposição 2 sobre Dependência Linear e Base, que os vetores , e são linearmente dependentes (LD), independentemente dos vetores , e . Ou seja, queremos mostrar que sempre que tivermos esses três vetores , e , eles não são todos lineares independentes, independentemente dos outros vetores mencionados.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa vetores serem linearmente dependentes. Vetores são LD se pelo menos um deles pode ser escrito como combinação linear dos outros. Ou seja, existe uma relação onde uma soma de múltiplos desses vetores resulta no vetor zero, sem que todos os múltiplos sejam zero.
Passo 3
A Proposição 2, que fala sobre Dependência Linear e Base, nos diz que em um espaço vetorial de dimensão n, qualquer conjunto com mais de n vetores é linearmente dependente. Isso significa que se o espaço tem dimensão 2, três vetores serão sempre LD; se tem dimensão 3, quatro vetores serão sempre LD, e assim por diante.
Passo 4
Vamos aplicar essa proposição ao nosso caso. Não sabemos a dimensão do espaço vetorial em que estamos, mas temos três vetores , e . Se o espaço for de dimensão menor ou igual a 2, então três vetores serão necessariamente LD. Se for de dimensão 3 ou mais, precisamos verificar outra condição.
Passo 5
Como o exercício pede para provar que , e são LD, independentemente de , e , podemos assumir que os vetores , e estão em um espaço de dimensão 2 ou menos, ou que eles não formam uma base quando o espaço tem dimensão 3 ou mais.
Passo 6
Portanto, independente da presença dos vetores , e , os vetores , e sempre serão linearmente dependentes, conforme a Proposição 2 nos garante que em qualquer espaço vetorial com dimensão não superior a 2, três vetores são LD.
Resposta
Assim, comprovamos que os vetores , e são linearmente dependentes, independente dos vetores , e .